Question

7．一傳送帶裝置示意圖如圖所示，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時(shí)是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時(shí)變?yōu)閳A弧形 （圓弧由光滑模板組成，未畫出），經(jīng)過CD區(qū)域時(shí)是傾斜的，AB和CD都與BC相切．現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速度為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變，CD段上各箱以相等間距排列，相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)．每個(gè)箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(dòng)（忽略經(jīng)BC段時(shí)的微小滑動(dòng)）．已知在一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間T內(nèi)，共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目為N．此裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無相對(duì)滑動(dòng)．不計(jì)輪軸處的摩擦．求：

（1）傳送帶的運(yùn)行速度大小；
（2）電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率P．

Answer 1

分析 本題涉實(shí)際生活、圖形信息和復(fù)雜情境，給人以無從下手的感覺．其實(shí)，本題條件是較明顯的，在題設(shè)情境下首先將小貨箱視為質(zhì)點(diǎn)，然后分清小貨箱在傳送帶的運(yùn)動(dòng)過程，以及這些過程中涉及哪些能量的轉(zhuǎn)化．這樣將復(fù)雜涉實(shí)際情境的問題還原成了熟悉的典型運(yùn)動(dòng)問題

解答 解：（1）小貨箱先在水平面上獲得與皮帶同速，在斜面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)至少到頂速度為0，距離為：s=$\frac{h}{sinθ}$，又v₀²=2as，
貨箱在斜面上作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：
a=gsinθ-μgcosθ
故皮帶速度至少為：V₀=$\sqrt{\frac{2h（gsinθ-μgcosθ）}{sinθ}}$
（2）以地面為參考系（下同），設(shè)傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度為v₀，在水平段運(yùn)輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其末速度等于傳送帶的速度，設(shè)這段時(shí)間內(nèi)小貨箱通過的位移為s，所用的時(shí)間為t，加速度為a，則對(duì)小貨箱有
s=$\frac{1}{2}$at²                                                        ①
v₀=at                                                          ②
在這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程為
s₀=v₀t                                                          ③
由以上各式得
s₀=2s                                                           ④
用f表示小貨箱與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦力，則傳送帶對(duì)小貨箱做功為
W₁=fs=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                     ⑤
傳送帶克服小箱對(duì)它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×$\frac{1}{2}$mv₀²                                                 ⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²                                                          ⑦
可見，在小貨箱加速運(yùn)動(dòng)過程中，小貨箱獲得的動(dòng)能與系統(tǒng)因相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱量相等．
T時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)機(jī)輸出的功為
W=$\overline{P}$T                                                            ⑧
此功用于增加小貨箱的動(dòng)能、重力勢(shì)能以及克服摩擦力產(chǎn)生熱量，即
W=$\frac{1}{2}$Nmv₀²+Nmgh+NQ                                               ⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L(zhǎng)，所以在T時(shí)間內(nèi)運(yùn)送的小貨箱的個(gè)數(shù)N，
則V₀T=（N-1）L                                                     　 ⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，得
$\overline{P}$=$\frac{Nm}{T}$（$\frac{（N-1）^{2}{L}^{2}}{{T}^{2}}$+gh）
答：①皮帶速度為$\sqrt{\frac{2h（gsinθ-μgcosθ）}{sinθ}}$
②電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率為$\frac{Nm}{T}$（$\frac{（N-1）^{2}{L}^{2}}{{T}^{2}}$+gh）．

點(diǎn)評(píng) 題目看似很難，實(shí)際上是由一些簡(jiǎn)單的題目綜合而成的，故在遇到難題時(shí)不要緊張，更不能放棄，要心平氣和的分析題目已知條件和求解之間的關(guān)系，從而最終解決問題