Question

15．一列簡(jiǎn)諧橫波沿x軸正向傳播，振幅A=4cm，沿波的傳播方向上相距30cm的兩質(zhì)點(diǎn)a，b，a點(diǎn)離波源較近，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)a，b的位移相等且為y=+2cm，振動(dòng)方向相反，求：
（1）這列波的最大波長(zhǎng)；
（2）設(shè)該時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0，請(qǐng)寫出質(zhì)點(diǎn)a的振動(dòng)方程（已知周期為T）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P、Q兩質(zhì)點(diǎn)的位移都是1cm，振幅都是2cm，簡(jiǎn)諧波的圖象是正弦曲線，寫出波動(dòng)方程，找出PQ間的距離與波長(zhǎng)關(guān)系的通項(xiàng)，再求出最長(zhǎng)的波長(zhǎng)．
（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)a的振動(dòng)方程為y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+ϕ₀），當(dāng)t=0時(shí)，y_a=+1cm，代入即可求解質(zhì)點(diǎn)a的振動(dòng)方程．

解答 解：（1）畫出題設(shè)時(shí)刻的波形圖如圖所示，當(dāng)a、b兩質(zhì)點(diǎn)位置如圖所示時(shí)，波長(zhǎng)最大．

根據(jù)波動(dòng)方程y=Asin（$\frac{2π}{λ}$x），有：
對(duì)a質(zhì)點(diǎn)有：y_a=4sin（$\frac{2π}{λ}$x_a）
對(duì)b質(zhì)點(diǎn)有：y_b=4sin（$\frac{2π}{λ}$x_b）
據(jù)題：y_a=y_b=2cm
解得：x_a=$\frac{λ}{12}$；x_b=$\frac{5λ}{12}$
又 x_b-x_a=30cm                                                       
即 $\frac{5λ}{12}$-$\frac{λ}{12}$=30cm
解得最大波長(zhǎng)為 λ=90cm                             
（2）y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+ϕ₀），當(dāng)t=0時(shí)，y_a=+1cm，易知此時(shí)質(zhì)點(diǎn)a的振動(dòng)方向向下，故ϕ₀=$\frac{π}{3}$
則質(zhì)點(diǎn)a的振動(dòng)方程為：y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+$\frac{π}{3}$）
答：
（1）這列波的最大波長(zhǎng)是90cm；
（2）設(shè)該時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0，質(zhì)點(diǎn)a的振動(dòng)方程為y_a=4cos（$\frac{2π}{T}$t+$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，關(guān)鍵能寫出波動(dòng)方程進(jìn)行求解，同時(shí)要明確兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)關(guān)系．