Question

1．如圖所示，A、B是一對(duì)平行的金屬板，在兩板間加上一周期為T(mén)的交變電壓．B板的電勢(shì)φ_B=0，A板的電勢(shì)φ_A隨時(shí)間的變化規(guī)律為：在0～$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)φ_A=U（正的常量）；在$\frac{T}{2}$～T時(shí)間內(nèi)φ_A=-U．現(xiàn)有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電粒子從B板上的小孔S處進(jìn)入兩板間的電場(chǎng)區(qū)內(nèi)，設(shè)粒子的初速度和重力均可忽略．
（1）若粒子是在t=0時(shí)刻進(jìn)入的，且經(jīng)過(guò)2T時(shí)間恰好到達(dá)A板，則A、B兩板間距d₁為多大？
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，且經(jīng)過(guò)$\frac{11T}{8}$時(shí)間恰好到達(dá)A板，則A、B兩板間距d₂為多大？
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，且A、B兩板間距足夠大，則粒子經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間離開(kāi)電場(chǎng)？

Answer 1

分析 （1）電子在t=0時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，前半個(gè)周期受到的電場(chǎng)力向上，向上做加速運(yùn)動(dòng)，后半個(gè)周期受到的電場(chǎng)力向下，繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，T時(shí)刻速度為零，接著周而復(fù)始，所以電子一直向B板運(yùn)動(dòng)，做出v-t圖象進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，在上一副圖上繼續(xù)做出v-t圖象分析，注意v-t圖象與時(shí)間軸包圍的面積表示位移大小；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，同樣做出v-t圖象進(jìn)行分析即可．

解答 解：（1）0-$\frac{T}{2}$內(nèi)，向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：a=$\frac{qU}{m3xlhl1z_{1}}$；
位移為：y₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{qU}{mhhrn1fh_{1}}×（\frac{T}{2}）^{2}$；
結(jié)合分析中內(nèi)容“在一個(gè)周期內(nèi)，前半個(gè)周期受到的電場(chǎng)力向上，向上做加速運(yùn)動(dòng)，后半個(gè)周期受到的電場(chǎng)力向下，繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，T時(shí)刻速度為零，接著周而復(fù)始“，做出v-t圖象，如圖所示：

故前2T內(nèi)的位移：y=4y₁=d₁；
聯(lián)立解得：d₁=$\sqrt{\frac{qU{T}^{2}}{2m}}$；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，且經(jīng)過(guò)$\frac{11T}{8}$時(shí)間恰好到達(dá)A板，畫(huà)出v-t圖象，如上圖中紅色的坐標(biāo)軸所示：
v-t圖象與時(shí)間軸包圍的面積表示位移大小，故：
d₂=$\frac{1}{2}a（\frac{3}{8}T）^{2}×2-\frac{1}{2}a（\frac{T}{8}）^{2}×2+\frac{1}{2}a（\frac{2}{8}T）^{2}$=$\frac{21}{128}a{T}^{2}$=$\frac{21}{128}•\frac{qU}{mjh1rdrv_{2}}•{T}^{2}$，
解得：d₂=$\sqrt{\frac{21qU{T}^{2}}{128m}}$；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，做出v-t圖象，如圖所示：

顯然在$\frac{3}{8}T-\frac{T}{2}$向上勻加速運(yùn)動(dòng)，$\frac{T}{2}-\frac{5}{8}T$向上勻減速，$\frac{5}{8}T$開(kāi)始向下勻加速，直到離開(kāi)電場(chǎng)，根據(jù)位移公式，有：
0=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{8}）^{2}$×2-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=$\frac{\sqrt{2}}{8}T$；
答：（1）若粒子是在t=0時(shí)刻進(jìn)入的，且經(jīng)過(guò)2T時(shí)間恰好到達(dá)A板，則A、B兩板間距d₁為$\sqrt{\frac{qU{T}^{2}}{2m}}$；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，且經(jīng)過(guò)$\frac{11T}{8}$時(shí)間恰好到達(dá)A板，則A、B兩板間距d₂為$\sqrt{\frac{21qU{T}^{2}}{128m}}$；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時(shí)刻進(jìn)入的，且A、B兩板間距足夠大，則粒子經(jīng)過(guò)$\frac{\sqrt{2}}{8}T$時(shí)間離開(kāi)電場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子的運(yùn)動(dòng)具有周期性，關(guān)鍵是畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的v-t圖象，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析，較難．