Question

15．如圖所示，P是一顆地球同步衛(wèi)星，已知球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T．
（1）設(shè)地球同步衛(wèi)星對(duì)地球的張角為2θ，求同步衛(wèi)星的軌道半徑r和sinθ的值．
（2）要使一顆地球同步衛(wèi)星能覆蓋赤道上A，B之間的區(qū)域，∠AOB=$\frac{π}{3}$，則衛(wèi)星可定位在軌道某段圓弧上，求該段圓弧的長(zhǎng)度l（用r和θ表示）

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力可得軌道半徑大小，由幾何關(guān)系確定sinθ；
（2）要使一顆地球同步衛(wèi)星能覆蓋赤道上，A，B之間的區(qū)域，相當(dāng)于分別以AB為地球上的切點(diǎn)，由幾何關(guān)系確定同步軌道段圓弧的長(zhǎng)度．

解答 解：設(shè)地球和同步衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M、m，則有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}={m（\frac{2π}{T}）}^{2}r$
在地球表面有：GM=gR²
由幾何關(guān)系得：R=rsinθ
故有：r=$\root{3}{\frac{{{R}^{2}T}^{2}g}{{4π}^{2}}}$
sin$θ=\root{3}{\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}g}}$
（2）如圖所示，

$α=\frac{π}{3}-θ$
故有：l=r•2α=2r（$\frac{π}{3}-θ$）
答：（1）同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\root{3}{\frac{{{R}^{2}T}^{2}g}{{4π}^{2}}}$，sin$θ=\root{3}{\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}g}}$
（2）該段圓弧的長(zhǎng)度為2r（$\frac{π}{3}-θ$）．

點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用好萬有引力提供向心力的表達(dá)式，記住黃金代換公式，恰當(dāng)準(zhǔn)確的找到幾何關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵．