Question

2．如圖，在注滿水的游泳池的池底有一點(diǎn)光源A，它到池邊的水平距離為3.0m．從點(diǎn)光源A射向池邊的光線AB與豎直方向的夾角恰好等于全反射的臨界角，水的折射率為$\frac{4}{3}$．
（i）求池內(nèi)的水深；
（ii）一救生員坐在離池邊不遠(yuǎn)處的高凳上，他的眼睛到地面的高度為2.0m．當(dāng)他看到正前下方的點(diǎn)光源A時(shí)，他的眼睛所接受的光線與豎直方向的夾角恰好為45°．求救生員的眼睛到池邊的水平距離（結(jié)果保留1位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （i）光由光源A射向B點(diǎn)時(shí)恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角．由臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求臨界角C，從而得到光線在B點(diǎn)的入射角，再由幾何知識(shí)求出水深．
（ii）作出射向救生員的光路，由折射定律求出光線在水面的入射角．根據(jù)幾何關(guān)系求解救生員的眼睛到池邊的水平距離．

解答 解：（i）光由A射向B點(diǎn)發(fā)生全反射，光路如圖所示．
圖中入射角θ等于臨界角C，則有
  sinθ=$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$
由題，$\overline{AO}$=3m，由幾何關(guān)系可得：
  $\overline{AB}$=4m
所以 $\overline{BO}$=$\sqrt{{\overline{AB}}^{2}-{\overline{AO}}^{2}}$=$\sqrt{7}$m
（ii）光由A點(diǎn)射入救生員眼中的光路圖如圖所示．
在E點(diǎn)，由折射率公式得 $\frac{sin45°}{sinα}$=n
得sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，tanα=$\frac{3}{\sqrt{23}}$=$\frac{3\sqrt{23}}{23}$
設(shè)$\overline{BE}$=x，則得 tanα=$\frac{\overline{AQ}}{\overline{QE}}$=$\frac{3-x}{\sqrt{7}}$
代入數(shù)據(jù)解得 x=（3-$\frac{3\sqrt{161}}{23}$）m
由幾何關(guān)系可得，救生員到池邊水平距離為 （2-x）m≈0.7m
答：
（i）池內(nèi)的水深$\sqrt{7}$m．
（ii）救生員的眼睛到池邊的水平距離約0.7m．

點(diǎn)評(píng) 本題是折射定律的應(yīng)用問題，根據(jù)幾何知識(shí)與折射定律結(jié)合進(jìn)行處理．要掌握全反射的條件和臨界角公式，并能靈活運(yùn)用．