Question

15．質(zhì)量為m₁的登月艙連接在質(zhì)量為m₂的軌道艙上一起繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑是月球半徑R_m的3倍．某一時(shí)刻，登月艙與軌道艙分離，軌道艙仍在原軌軌道上運(yùn)動(dòng)，登月艙作一瞬間減速后，沿圖示橢圓軌道登上月球表面，在月球表面逗留一段時(shí)間后，快速啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，使登月艙具有一合適的初速度，使之沿原橢圓軌道回到脫離點(diǎn)與軌道艙實(shí)現(xiàn)對(duì)接．由開普勒第三定律可知，以太陽(yáng)為焦點(diǎn)作橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道半長(zhǎng)軸的立方與周期的平方之比是一個(gè)常量．另，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，行星質(zhì)量為m，太陽(yáng)質(zhì)量為M₀，則行星的總能量為E=-$\frac{G{M}_{0}m}{2a}$．行星在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，行星的機(jī)械能守恒，當(dāng)它距太陽(yáng)的距離為r時(shí)，它的引力勢(shì)能為E_P=-$\frac{G{M}_{0}m}{r}$．G為引力恒量．設(shè)月球質(zhì)量為M，不計(jì)地球及其它天體對(duì)登月艙和軌道艙的作用力．求：
（1）登月艙減速時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)做了多少功？
（2）登月艙在月球表面可逗留多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出登月艙未減速時(shí)的動(dòng)能，結(jié)合勢(shì)能的大小求出總能量的大小．根據(jù)總能量的表達(dá)式求出在橢圓軌道上的能量，結(jié)合能量守恒求出發(fā)動(dòng)機(jī)做功的大小．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出軌道艙的周期，結(jié)合開普勒第三定律求出登月艙和軌道艙周期的關(guān)系，抓住軌道艙運(yùn)動(dòng)的周期性求出登月艙在月球表面停留的時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{（3{R}_{m}）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{3{R}_{m}}$得：${v}^{2}=\frac{GM}{3{R}_{m}}$，
登月艙未減速時(shí)，動(dòng)能為：E_k1=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}\frac{GM}{3{R}_{m}}$，
總能量為：E=${E}_{k1}+{E}_{p}=\frac{1}{6}\frac{GM{m}_{1}}{{R}_{m}}-\frac{GM{m}_{1}}{3{R}_{m}}$=$-\frac{GM{m}_{1}}{6{R}_{m}}$，
在橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，半長(zhǎng)軸為：a=$\frac{3{R}_{m}+{R}_{m}}{2}=2{R}_{m}$，
則登月艙減速后的總能量為：$E′=\frac{-GM{m}_{1}}{2×2{R}_{m}}=-\frac{GM{m}_{1}}{4{R}_{m}}$，
根據(jù)能量守恒得，發(fā)動(dòng)機(jī)做功為：$W=E′-E=-\frac{GM{m}_{1}}{12{R}_{m}}$．
（2）設(shè)軌道艙的周期為T，根據(jù)$G\frac{Mm}{（3{R}_{m}）^{2}}=m•3{R}_{m}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}•（3{R}_{m}）^{3}}{GM}}$，
登月艙的周期為T′，根據(jù)開普勒第三定律知，$\frac{（3{R}_{m}）^{3}}{{T}^{2}}=\frac{（2{R}_{m}）^{3}}{T{′}^{2}}$，
則有：$T{′}^{2}=\frac{8}{27}{T}^{2}$，
則停留時(shí)間△t=nT-T′=$（n-\sqrt{\frac{8}{27}}）（6π{R}_{m}）\sqrt{\frac{3{R}_{m}}{GM}}$，n=1，2，3…．
答：（1）登月艙減速時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)做了$-\frac{GM{m}_{1}}{12{R}_{m}}$的功．
（2）登月艙在月球表面可逗留時(shí)間為$（n-\sqrt{\frac{8}{27}}）（6π{R}_{m}）\sqrt{\frac{3{R}_{m}}{GM}}$，n=1，2，3…．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律、開普勒第三定律、能量守恒的綜合運(yùn)用，結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力求出動(dòng)能和周期是解決本題的關(guān)鍵．