Question

1．如圖所示，某種透明材料做成的三棱鏡，其橫截面是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，現(xiàn)用一束寬度為a的單色平行光束，以垂直于BC面的方向正好入射到該三棱鏡的AB及AC面上，結(jié)果所有從AB、AC面入射的光線進(jìn)入后恰好全部直接到達(dá)BC面．求：
（i）該材料對(duì)此平行光束的折射率；
（ii）這些直接到達(dá)BC面的光線從BC面折射而出后，如果照射到一塊平行于BC面的屏上形成光斑，則當(dāng)屏到BC面的距離d滿足什么條件時(shí)，此光斑分為兩條？

Answer 1

分析 （i）先據(jù)題意知從AB、AC面入射的光線進(jìn)入后恰好全部直接到達(dá)BC面，說明從AB面進(jìn)入三棱鏡的折射光線與AC平行，畫出光路圖，根據(jù)對(duì)稱性和幾何關(guān)系得到入射角和折射角，即可求得折射率．
（ii）畫出光路圖，如圖O為BC中點(diǎn)，在B點(diǎn)附近折射的光線從BC射出后與直線AO交于D，可看出只要光屏放得比D點(diǎn)遠(yuǎn)，則光斑會(huì)分成兩塊，由幾何知識(shí)求解．

解答 解：（i）由于對(duì)稱性，我們考慮從AB面入射的光線，這些光線在棱鏡中是平行于AC面的，由對(duì)稱性和幾何知識(shí)可得，光線進(jìn)入AB面時(shí)的入射角α和折射角β分別為：
 α=60°，β=30°                                
則材料的折射率為 n=$\frac{sinα}{sinβ}$=$\sqrt{3}$
（ii）如圖O為BC中點(diǎn)，緊靠B點(diǎn)從BC面射出的光線與直線AO交于D，由圖可知：當(dāng)光屏放在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，光屏上形成兩條光斑．      
由幾何關(guān)系有 OD=$\frac{a}{2}$tanα=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a              
所以當(dāng)光屏到BC距離d超過$\frac{\sqrt{3}}{6}$a時(shí)，光斑分為兩條．   
答：
（i）該材料對(duì)此平行光束的折射率為$\sqrt{3}$；
（ii）當(dāng)光屏到BC距離d超過$\frac{\sqrt{3}}{6}$a時(shí)，光斑分為兩條．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何光學(xué)問題，作出光路圖是解題的關(guān)鍵之處，再運(yùn)用幾何知識(shí)求出入射角和折射角，即能解決此類問題．