Question

10．如圖所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO′勻速轉動，規(guī)定經過O點且水平向右為x軸正方向．在圓心O點正上方距盤面高為h=5m處有一個可間斷滴水的容器，從t=0時刻開始容器沿水平軌道向x軸正方向做初速為零的勻加速直線運動．已知t=0時刻滴下第一滴水，以后每當前一滴水剛好落到盤面時再滴下一滴水．則：
（1）每一滴水離開容器后經過多長時間滴落到盤面上？
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應為多大？
（3）當圓盤的轉速為n=$\frac{3}{4}$r/s時，第二滴水與第三滴水在盤面上落點間的距離為s=$\sqrt{73}$m/s，求容器的加速度a．

Answer 1

分析 （1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運動，水平方向做勻加速直線運動，水滴運動的時間等于豎直方向運動的時間，由高度決定；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，則圓盤在t秒內轉過的弧度為kπ，k為不為零的正整數；
（3）通過勻加速直線運動的公式求出兩個水滴在水平方向上的位移，再算出兩個位移之間的夾角，根據位移關系算出容器的加速度．

解答 解：（1）水滴離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運動．每一滴水滴落到盤面上所用時間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線，則圓盤在t秒內轉過的弧度為
kπ，k為不為零的正整數．則：ωt=kπ
       即ω=$\frac{kπ}{t}$=kπ  （其中k=1，2，3…．）
（3）第二滴水離開O點的距離為${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+（at）t=\frac{3}{2}a$
第三滴水離開O點的距離為${x}_{3}=\frac{1}{2}a（2t）^{2}+（a•2t）t=4a$
又△θ=ωt=2πnt=1.5π
即第二滴水和第三滴水分別滴落在圓盤上x軸方向及垂直x軸的方向上，所以${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={x}^{2}$     
即${（\frac{3}{2}a）}^{2}+{（4a）}^{2}=73$  
代入數據解得：a=2m/s²；
答：（1）每一滴水離開容器后經過1s時間滴落到盤面上；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應為kπ，其中k=1，2，3，…；
（3）當圓盤的角速度為1.5π時，第二滴水與第三滴水在盤面上落點間的距離為2m，則容器的容器加速度2m/s²

點評 該題涉及到運動的合成與分解，圓周運動，勻變速直線運動的相關規(guī)律，綜合性較強，難度較大．