第二講 函數(shù)圖象
★★★高考在考什么
【考題回放】
1.圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為( 。
A.
B.
C.
D.
2.客車從甲地以
3.函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( B )
A.4 B.
4.若函數(shù)的圖象按向量平移后,得到函數(shù)的圖象,則向量( A )
A. B. C. D.
5.若函數(shù)的反函數(shù)為,則函數(shù)與的圖象可能是( A )
。粒 。拢 。茫 。模
6.為了預(yù)防流感,某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時(shí)間(小時(shí))成正比;藥物釋放完畢后,與的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)),如圖所示.據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(I)從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時(shí)間(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為 ;
(II)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那么藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過 小時(shí)后,學(xué)生才能回到教室.
6.;0.6
★★★高考要考什么
一、奇函數(shù)(的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)(圖象關(guān)于軸對(duì)稱。
引申:若,則的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱;
若,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
若是奇函數(shù),則關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱;
若是偶函數(shù),則關(guān)于直線對(duì)稱;
區(qū)別:與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;
與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;
與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;
二、翻折變換:
和圖象間的關(guān)系____ ;
和圖象間的關(guān)系_____ ;
如:作出:與的圖象
★★★ 突 破 重 難 點(diǎn)
【范例1】 定義域和值域均為(常數(shù))的函數(shù)和的圖像如圖所示,給出下列四個(gè)命題:
(1)方程有且僅有三個(gè)解;
(2)方程有且僅有三個(gè)解;
(3)方程有且僅有九個(gè)解;
(4)方程有且僅有一個(gè)解。
那么,其中正確命題的個(gè)數(shù)是 (1)、(4) 。
變式:函數(shù)的圖象與它的反函數(shù)圖象所圍成的面積是
【范例2】 設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸正向分別平移單位長(zhǎng)度后得曲線;(1)寫出曲線的方程;(2)證明曲線與曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;(3)如果曲線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),證明。
解:(1)曲線C1的方程為 y=(x-t)3 (x-t)+s
(2)證明:在曲線C上任取一點(diǎn)B1(x1,y1)。。設(shè)B2(x2,y2)是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),則有
代入曲線C的方程,得x2和y2滿足方程:
可知點(diǎn)B2(x2,y2)在曲線C1上。
反過來,同樣可以證明,在曲線C1上的 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上。因此,曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱。
(Ⅲ)證明:因?yàn)榍C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),所以,方程組
有且僅有一組解。消去y,整理得
這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根。所以t≠0并且其根的判別式
變式:已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.(1)求的解析式;(2)若且在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:(1)設(shè)點(diǎn)M是函數(shù)任意點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于A(0,1)的對(duì)稱點(diǎn)為P,
則,代入得:。
(2)設(shè)則恒成立,
恒成立,
【范例3】已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值是12。
(I)求f(x)的解析式;
(II)是否存在實(shí)數(shù)m使得方程在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由。
解:(I)是二次函數(shù),且的解集是
可設(shè)
\ f(x)在區(qū)間上的最大值是
由已知,得
(II)方程等價(jià)于方程
設(shè)則
當(dāng)時(shí),是減函數(shù);
當(dāng)時(shí),是增函數(shù)。
方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根,
所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。
變式:設(shè)f(x)=l―2x2,g(x)=x2-2x,若F(x)=則F(x)的最大值為__________.
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