(四)排列、組合的混合問題

排列、組合的混合問題，主要指既與組合有關(guān)，又與排列有關(guān)的應(yīng)用問題.如分配問題.　

例6　 六本不同的書,按下列條件,各有多少種不同的分法?

(1) 分為三堆,每堆2本；

(2) 分為三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；

(3) 分給甲、乙、丙三人，每人2本；

(4) 分給甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；

(5) 分給甲、乙、丙三人，每人至少得1本.

評(píng)析　 本例屬分配問題，解這類問題的基本思路是先分組，再分配，即先組合、后排列．同時(shí)注意在分組時(shí)，若出現(xiàn)平均分組(即兩組元素個(gè)數(shù)相同)的情況，則要除以組數(shù)(即平均分組的數(shù)目)的階乘．

例6　 (1)分別從4所學(xué)校選拔6名報(bào)告員，每校至少1人，有多少種不同的選法？

(2) 將6名報(bào)告員分配到4所學(xué)校去做報(bào)告，每校至少1人，有多少種不同的分配方法？

評(píng)析 　兩小題看以類似，但第(1)小題的選取元素為學(xué)校；第(2)小題的選取元素為報(bào)告員，解題時(shí)要注意區(qū)分分組時(shí)，組合的對(duì)象--即元素是什么．

(三)排列應(yīng)用題

例2 　4位學(xué)生與2位教師并坐合影留念．(1)教師必須坐在中間；(2)教師不能坐在兩端，但要坐在一起；(3)教師不能坐在兩端，且不能相鄰．各有多少種不同的坐法？(1)_{；(2)；(3)144}

評(píng)析　 (1) “在與不在”、“鄰與不鄰”是帶限制條件的排列應(yīng)用題的兩種重要題型，處理這類問題的基本思路，有“直接”、“間接”之分．

(2) 對(duì)“在與不在”問題，優(yōu)先考慮受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解題的基本策略；而處理“鄰與不鄰”問題，使用捆綁和插空法是十分有效的．

(3) 關(guān)于“元素和問題”的認(rèn)識(shí)，是排列、組合概念中的一個(gè)重要問題，解題總是從元素或位置出發(fā)，要注意即使在同一問題中，把什么看作元素(或位置)并不是一成不變的．　

例3　 用0，1，2，3，4，5 六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的：(1)首數(shù)是奇數(shù)的五位偶數(shù)？(2) 五位奇數(shù)？(3)五位偶數(shù)？

(二)加法原理與乘法原理

這是兩個(gè)基本原理，它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，而且可以直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q某些問題．兩個(gè)原理的區(qū)別是前者與分類有關(guān)，與元素的順序有關(guān)；后者與分步有關(guān)，與元素的順序無關(guān)；．

例1　 (1)有紅、黃、白色旗子各n面(n＞3)，取其中一面、二面、三面組成縱列信號(hào)，可以有多少不同的信號(hào)？

(2) 有1元、5元、10元的鈔票各一張，取其中一張或幾張，能組成多少種不同的幣值？

　　 (1) 解　 因?yàn)榭v列信號(hào)有上、下順序關(guān)系，所以是一個(gè)排列問題，信號(hào)分一面、二面、三面三種情況(三類)，各類之間是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3種信號(hào)；②升二面旗，要分兩步，連續(xù)完成每一步，信號(hào)方告完成，而每步又是獨(dú)立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重復(fù)使用，故共有3×3種信號(hào)；③升三面旗，有3×3×3種信號(hào)．所以共有39種信號(hào)．

(2) 解法　 計(jì)算幣值與順序無關(guān)，所以是一個(gè)組合問題，有取一張、二張、三張、四張四種情況，它們彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同幣值有 ＝15(種)

評(píng)析　 (1) 排列、組合的區(qū)別在于順序性，前者“有序”而后者“無序”；加法原理與乘法原理的區(qū)別在于聯(lián)斥性，前者“斥”--互斥獨(dú)立事件，后者“聯(lián)”--相依事件．因而有“順序”決“問題”，“聯(lián)斥”定“原理”的說法．

(2)加、乘原理是排列、組合問題的理論依據(jù)，在分析問題和指導(dǎo)解題中起著關(guān)鍵作用，運(yùn)用加法原理的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)胤诸?分情況)，要使所分類別既不遺漏，也不重復(fù)；運(yùn)用乘法原理的關(guān)鍵在于分步，要正確設(shè)計(jì)分步的程序，使每步之間既互相聯(lián)系，又彼此獨(dú)立．

(一)本來的主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)

1. 掌握加法原理及乘法原理，并能運(yùn)用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的問題．　　 2. 理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題．　 3. 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡單問題．

17、如圖，是底面邊長為的正三棱錐，、、分別為棱、、上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等。(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)證明：為正四面體；

(2)若，求二面角的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(3)設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由。

16、如圖，將邊長為的正方形剪去圖中的陰影部分，沿圖中所畫虛線折成一個(gè)正三棱錐。這個(gè)正三棱錐側(cè)棱與底面所成角的余弦值是　　　　　　

15、在的二面角內(nèi)，放一個(gè)半徑為的球切兩半平面于、兩點(diǎn)，那么這兩個(gè)切點(diǎn)在球面上最短距離是　　

14、已知球的表面積為，有兩個(gè)平行截面的面積分別為和，則這兩個(gè)平行截面間的距離是　　　

13、正四面體的側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是