問題1．(全國Ⅱ文)下面是關(guān)于三棱錐的四個命題：

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．

④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．

其中，真命題的編號是　　　　　　 (寫出所有真命題的編號)

(江西文)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下個命題中，假命題是

等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等　　　　　　　　　　　　　　　　

等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補

等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上

(全國)下面是關(guān)于四棱柱的四個命題：

①　　 若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

②　　 若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

③　　 若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；

④　　 若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱.

其中，真命題的編號是　　　　　 　　　(寫出所有真命題的編號).

(江西文)如右圖，已知正三棱柱

的底面邊長為，高為，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱

的側(cè)面繞行兩周到達點的最短路線的長為　　　　　

問題2．三棱柱中，，

、、的長均為，點在底面

上的射影在上.

求與側(cè)面所成的角；

若點恰是的中點，求此三棱柱的側(cè)面積；

求此三棱柱的體積.

問題3．已知正四面體的棱長為，用一個

平行于底面的平面截此四面體，所得的截面面積為，

求截面與底面之間的距離.

問題4．如圖所示，三棱錐中，，

，，

求三棱錐的體積.(要求用四種不同的方法)

有兩個面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.

棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長方體的對角線的平方等于由一個頂點出發(fā)的三條棱的平方和.

一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.

棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對應(yīng)高的平方比.

在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影構(gòu)成直角三角形.

三棱錐的頂點在底面三角形上射影位置常見的有：

①　　 側(cè)棱長相等外心；②側(cè)棱與底面所成的角相等外心；

②　　 側(cè)面與底面所成的角相等內(nèi)心；④頂點到底面三邊的距離相等內(nèi)心；

⑤三側(cè)棱兩兩垂直垂心；⑥相對棱兩兩垂直垂心.

求體積常見方法有：①直接法(公式法)；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補形法：通過補形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：(ⅰ)底面積相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；(ⅱ)高相同的兩個三棱錐體積之比等于其底面積的比；(ⅲ)用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方.

(福建)如圖，直二面角中，四邊形是邊長

為的正方形，，為上的點，且平面.

求證：平面(略去不寫)；

求二面角的大小(略去不寫)；

求點到平面的距離.

(遼寧)如圖，正方體的棱長為，、分別是兩條棱的中點，

、、是頂點，那么點到截面的距離是　　　　

(天津)如圖，在正三棱柱中，

若二面角的大小為，

則點到直線的距離為　　　　　

如圖，正方體的棱長為，是底面

的中心，則到平面的距離為　

(湖北文)如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長

和底面邊長均為，是底面邊上的中點，是側(cè)棱

上的點，且.

求二面角的平面角的余弦值(略去不寫)；

求點到平面的距離(請用多種方法，至少要用向量法)

平面，是平面的兩條斜線，是在平面內(nèi)的射影，，，，，則點到直線的距離為　　　　

在長方體中，，，則直線與平面的距離是　　 　　 　　 　　

如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，．是的中點．

求證：平面平面(略去不寫)；　　　　　　　

求二面角所成平面角的余弦值(略去不寫)；

求點到平面的距離．

如圖，在長方體中，，

，.

求證：平面∥平面(略去不寫)；

求平面與平面間的距離.

問題1．(江西)如圖，在長方體中，，，

點在棱上移動.略；當(dāng)為的中點時，求點到面的距離；略

　　　　　　　　　　　　　 　(請用多種方法，至少要用向量法)

問題2．(遼寧)如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點，為棱上的點，二面角為．

證明：(此小題略去不寫)；

求的長，并求點到平面的距離．

(請用多種方法，至少要用向量法)

問題3．(湖北文)在棱長為的正方體中，分別為棱的中點，為棱上的一點，且(≤≤)．則點到平面的距離為

問題4．(重慶)如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于、的一點，，已知，，，

，求：異面直線與的距離；略.

問題5．棱長均為的正三棱柱中，為的中點，

連結(jié)，，.求證：∥平面

(略去不寫)；求到平面的距離.

七種距離：點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離.

點與點的距離：解三角形及多邊形；向量法：空間任意兩點、間的距離即線段

的長度：設(shè)、，則

兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度.

說明：兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離

求法：直接法：求兩異面直線的公垂線段的長度；

轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線面距離或面面距離；向量法：

法一、找平面使且∥，則異面直線、的距離

就轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，又轉(zhuǎn)化為點到平面的距離．

法二、在上取一點, 在上取一點, 設(shè)、分別

為異面直線、的方向向量,求(， )，

則異面直線、的距離

(此方法移植于點面距離的求法)．

點到平面的距離：已知點是平面外的任意一點，

過點作，垂足為，則唯一，則是

點到平面的距離.即 一點到它在一個平面內(nèi)的正射影

的距離叫做這一點到這個平面的距離.

結(jié)論：連結(jié)平面外一點與內(nèi)一點所得的線段中，垂線段最短.

求法：直接法：過點作一平面與平面垂直，再過點作兩平面的交線的垂線即可

等體積法：線面平行法：若過點有一直線∥平面，則直線上的任一點到平面的距離等于到點到平面的距離.線段比例轉(zhuǎn)化法：平面的統(tǒng)一斜線上的兩點到該平面的距離與這兩點到斜足的距離成比例，運用此結(jié)論可轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離.

向量法：法一、設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點,

則到的距離

法二、設(shè)于,利用和點在內(nèi)的向量表示，可確定點的位置，從而求出，即直接求垂線段的長度.

直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點面距離).

距離的共性：這其中距離中，雖然定義不同，但總具有下列幾個特征：

某距離是指相應(yīng)線段的長度；此線段是相關(guān)線段中最短的；除兩點間的距離外，其余總與垂直相聯(lián)系，由此求距離的方法就有幾何法和代數(shù)等方法.

求距離的一般步驟：找出或作出相關(guān)的距離；證明它符合定義；歸到某三角形或多邊形中計算;作答.

(浙江)在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點．

求證：；

求與平面所成的角．

(北京)如圖，在中，，斜邊．

可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，

且二面角是直二面角．動點的斜邊上．

求證：平面平面；

當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大�。�

求與平面所成角的最大值．

v

(福建)如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．

求證：平面(此小題這里略去不做)；

求二面角的大�。�

求點到平面的距離．

問題1．(全國Ⅰ)四棱錐中，底面為平行四邊形，

側(cè)面底面．已知，

，，．

證明：；

求直線與平面所成角的大�。�

(本小題要求用多種方法解答,包括向量法).

問題2． (屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬)

邊長為的正方體中，是棱

上任一點，().

若時，求證：面面；

試確定值，使直線與平面所成的角

的正切值為.

問題3．(四川)如圖，是直角梯形，，∥，

，，又，，

，直線與直線所成的角為.

求證：平面⊥平面；

求二面角的大小;

求三棱錐的體積.

(要求第小題用多種方法解答,包括向量法).

問題4．(陜西)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，

，，平面．，，，

求證：平面(此小題這里略去不做)；求二面角的大小．

(要求第小題用多種方法解答,包括向量法).

(三)課后作業(yè)：

如圖所示，在棱長為的正方體中，

是底面的中心，，分別是，的

中點.那么異面直線和所成角的余弦值等于　　　

(浙江文)在三棱錐中，，

點、分別是、的中點，底面.

求證：平面；

求直線與平面所成角的大小

如圖，的邊長為，，，

都垂直于平面，且，

，點為的中點，求直線

與平面所成的角.　　　　　

三垂線定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和

這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線的逆定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和

這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.

　空間角的計算步驟　 一作、二證、三算.

異面直線所成角：范圍：；計算方法:

①平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進行平移.②向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,

則兩異面直線所成的角；③補體法；

④證明兩條異面直線垂直,即所成角為.

直線與平面所成的角：①定義：(課本)平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角.②范圍 ；③最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角.⑤斜線與平面所成角的計算：直接法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 可利用面面垂直的性質(zhì)； 平移法：通過三角形的中位線或平行四邊形的對邊平移，計算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過等體積法求出斜線任一點到平面的距離，計算這點與斜足之間的線段長，則.

應(yīng)用結(jié)論：如右圖所示，，為垂足，為斜足，

，與平面所成的角為，，

，則.

向量法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面

的法向量，則斜線與平面所成的角.

二面角：①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，

其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面

所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，

每個半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個半平面重合時，二面角為，當(dāng)兩個半平面合成一個平面時，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.②確定二面角的方法：定義法；三垂線定理及其逆定理法；垂面法；射影面積法：，此方法常用于無棱二面角大小的計算；無棱二面角也可以先根據(jù)線面性質(zhì)恢復(fù)二面角的棱，然后再用方法、計算大��；向量法：法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角

；其方向如右圖，

則二面角的平面角

(同等異補)

法二、設(shè),是二面角的兩個半平面

的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向

外側(cè)(同等異補)，則二面角的平面角

(陜西)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，

，，平面．，，，

求證：平面；略．