15．用數(shù)字0,1,2,3,4,5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．

(1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？

(2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)？

(3)可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)？

解：(1)直接法：A·A＝300；

間接法：A－A＝300.

(2)由題意知四位數(shù)個(gè)位數(shù)上必須是偶數(shù)；同時(shí)暗含了首位不能是0，因此該四位數(shù)的個(gè)位和首位是“特殊位置”，應(yīng)優(yōu)先處理；另一方面，0即是偶數(shù)，又不能排在首位，屬“特殊元素”應(yīng)重點(diǎn)對(duì)待．

解法一：(直接法)0在個(gè)位的四位偶數(shù)有A個(gè)；0不在個(gè)位時(shí)，先從2,4中選一個(gè)放在個(gè)位，再?gòu)挠嘞碌乃膫�(gè)數(shù)(不包括0)中選一個(gè)放在首位，應(yīng)有A·A·A個(gè)．

綜上所述，共有A+A·A·A＝156(個(gè))．

解法二：(間接法)從這六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成最后一位是偶數(shù)的排法，有A·A，其中第一位是0的有A·A個(gè)，故適合題意的數(shù)有A·A－A·A＝156(個(gè))．

(3)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)能被3整除，符合題意的有：

①含0,3則需1,4和2,5各取1個(gè)，

可組成C·C·C·A；

②含0或3中一個(gè)，均不符合題意；

③不含0,3，由1,2,4,5可組成A個(gè)．

所以共有C·C·C·A+A＝96(個(gè))．

14．一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球．

(1)從中任取4個(gè)，使紅球的個(gè)數(shù)不比白球少，這樣的取法有多少種？

(2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從口袋中取5個(gè)球，使總分不小于7的取法有多少種？

解：(1)從中任取4個(gè)，使紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的方法可分為三類：

第一類：紅球取4個(gè)的方法有C；

第二類：紅球取3個(gè)，白球取1個(gè)的方法有C·C；

第三類：紅球取2個(gè)，白球取2個(gè)的方法有C·C.

由加法原理可知，共有取法C+CC+CC＝115種．

(2)設(shè)取紅球x個(gè)，取白球y個(gè)，依題意可知：

且0≤x≤4,0≤y≤6，解得

這樣把總分不小于7的取法可以分為三類：

第一類：紅球取2個(gè)，白球取3個(gè)的方法有CC；

第二類：紅球取3個(gè)，白球取2個(gè)的方法有CC；

第三類：紅球取4個(gè)，白球取1個(gè)的方法有CC.

由加法原理，滿足條件的取法共有CC+CC+CC＝186種．

13．男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人．選派5人外出比賽．在下列情形中各有多少種選派方法？

(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；

(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；

(3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；

(4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．

解：(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法．

第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法．

共有C·C＝120種選法．

(2)解法一：至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

由分類計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為

CC+CC+CC+CC＝246種．

解法二：“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解．

從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種．

所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為C－C＝246種．

(3)解法一：可分類求解：

“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C；

“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C；

“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為C；

所以共有2C+C＝196種選法．

解法二：間接法：

從10人中任選5人有C種選法，

其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C種．所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C－C＝196種．

(4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有C種選法．不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法．其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有C－C種選法．

所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有

C+C－C＝191種．

12．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，求該外商不同的投資方案有多少種？

解：可先分組再分配，據(jù)題意分兩類，一類：先將3個(gè)項(xiàng)目分成兩組，一組有1個(gè)項(xiàng)目，另一組有2個(gè)項(xiàng)目，然后再分配給4個(gè)城市中的2個(gè)，共有CA種方案；另一類1個(gè)城市1個(gè)項(xiàng)目，即把3個(gè)元素排在4個(gè)不同位置中的3個(gè)，共有A種方案．由分類計(jì)數(shù)原理可知共有CA+A＝60種方案．

11．某校開(kāi)設(shè)9門課程，供學(xué)生選修，其中A、B、C 三門由于上課時(shí)間相同，至多選1門，學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修4門，共有__________種不同的選修方案．(用數(shù)字作答)．

答案：75

解析：第一類：從A、B、C 三門選一門有C·C＝60種，第二類：從其它六門選4門有C＝15種，

∴共有60+15＝75種不同的方法．

10．將數(shù)字1,2,3,4,5,6 排成一列，記第i個(gè)數(shù)為a_i，(i＝1,2,3,4,5,6)，若a₁≠1，a₃≠3，a₅≠5，且a₁<a₃<a₅，則不同的排列方法有__________種．(用數(shù)字作答)

答案：30

解析：由題設(shè)知a₅必為6.

第一類：當(dāng)a₁＝2時(shí)，a₃可取4、5，∴共有2A＝12種；

第二類：當(dāng)a₁＝3時(shí)，a₃可取4、5，∴共有2A＝12種；

第三類：當(dāng)a₁＝4時(shí)，a₃必取5，∴有A＝6種．

∴共有12+12+6＝30種．

9．(2009·北京市東城區(qū))6個(gè)人分乘兩輛不同的出租車，如果每輛車最多能乘4個(gè)人，則不同的乘車方案有________種．

答案：50

解析：由題意可知將6個(gè)人分為兩組有4,2；3,3兩種分組方式，若分組為4,2，則不同的乘車方案有CA＝30種，若分組為3,3，則不同的乘車方案有×A＝20種，綜上可得不同的乘車方案共有30+20＝50種．

8．(2009·吉林省質(zhì)檢)A、B、C、D、E 5人爭(zhēng)奪一次比賽的前三名，組織者對(duì)前三名發(fā)給不同的獎(jiǎng)品，若A獲獎(jiǎng)，B不是第一名，則不同的發(fā)獎(jiǎng)方式共有(　)

A．72種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．30種

C．24種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．14種

答案：B

解析：解答本題注意正確的分類，若A獲獎(jiǎng)且是第一名時(shí)，第二名和第三名由其他四人得有A種可能，若A獲獎(jiǎng)且不是第一名時(shí)，第一名只能由C，D，E三個(gè)人得，然后A獲獎(jiǎng)有2種可能，再由其他3個(gè)人選1個(gè)獲得剩下的獎(jiǎng)品，此時(shí)有3×2×3＝18種可能，故共有A+18＝30種發(fā)獎(jiǎng)方式．故選B.

7．(2009·西安八校)從3名男生和3名女生中選出3人分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的課代表，要求至少有1名女生，則不同的選派方案共有(　)

A．19種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．54種

C．114種 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．120種

答案：C

解析：從6個(gè)人中選出3人有C＝20種不同的選法，其中不選女生只有一種方法，則選3個(gè)人分別擔(dān)任不同的課代表且至少有一名女生的不同選派方案共有(20－1)A＝114種．故選C.

6．(2008·杭州十中)將4名實(shí)習(xí)老師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，每班至少1名，則不同的分配方案有(　)

A．6種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．12種

C．24種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．36種

答案：D

解析：先將4名實(shí)習(xí)教師無(wú)序分成3組，然后在3個(gè)班級(jí)全排列，則不同的分配方案有CA＝36，故選D.