18．(丁中)求與橢圓有公共頂點，且離心率為的雙曲線方程.

錯解：

錯因：忽視了橢圓的短軸上的兩個頂點。

正解：，

17．(丁中)已知點A(－2，－1)和B(2，3)，圓C：x²+y² = m²，當(dāng)圓C與線段AB沒有公共點時，求m的取值范圍。

錯解：,

錯因：將題中的實數(shù)m當(dāng)成了圓的半徑，誤認為m>0。

正解：且

16．(一中)已知點N(1，2)，過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且

　 (1)求直線AB的方程；

　 (2)若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

解：(1)設(shè)直線AB：代入得

　　 　　　　(＊)

　　　　 令A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁、x₂是方程的兩根

　　　　 ∴　 　且 　　

　　　　 ∵　 　　∴　 N是AB的中點　 ∴　

　　　　 ∴　 　　k = 1　　 ∴AB方程為：y = x + 1 

　 (2)將k = 1代入方程(＊)得　 或 

　　　　 由得，

　　　　 ∴　 ，

　　　　 ∵　 　　∴　 CD垂直平分AB　　 ∴　 CD所在直線方程為

　　　　 即代入雙曲線方程整理得

　　　　 令，及CD中點

　　　　 則，，　 ∴，　

　　　　 |CD| =，

　　　　 ，即A、B、C、D到M距離相等

　　　　 ∴　 A、B、C、D四點共圓

15．(一中)如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；

(II)如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數(shù)λ，使．

解：(I)以O(shè)為原點，OA為X軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2，0)，則橢圓方程為

　　　 ∵O為橢圓中心，∴由對稱性知|OC|＝|OB|

　　　 又∵， ∴AC⊥BC

　　　 又∵|BC|＝2|AC|　 ∴|OC|＝|AC|

　　　 ∴△AOC為等腰直角三角形　

　　　 ∴點C的坐標(biāo)為(1，1)　 ∴點B的坐標(biāo)為(－1，－1)

　　　 將C的坐標(biāo)(1，1)代入橢圓方程得，

　　　 則求得橢圓方程為　　　

　　　 (II)由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸)，不妨設(shè)PC的斜率為k，則QC的斜率為－k，因此PC、QC的直線方程分別為y＝k(x－1)+1，y＝－k(x－1)+1

　　　 由　 得(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0 *)

　　　 ∵點C(1，1)在橢圓上，

　　　 ∴x＝1是方程(*)的一個根，∴x_P•1＝即x_P＝

　　　 同理x_Q＝　

　　　 ∴直線PQ的斜率為(定值)

又∠ACB的平分線也垂直于OA

　　　 ∴直線PQ與AB的斜率相等(∵k_AB=)

　　　 ∴向量，即總存在實數(shù)，使成立．

14．(城西中學(xué))設(shè)F₁、F₂是雙曲線-=1(a>0)的兩個焦點

⑴若點P在雙曲線上,且·＝0,||·||=2，求雙曲線的方程。

⑵設(shè)曲線C是以⑴中的雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓，若F₁’、F₂’分別是其左右 焦點，點Q是橢圓上任一點，M(2，)是平面上一點，求|QM|+|QF₁’|的最大值。

正確答案：⑴因為·＝0，∴⊥依題意

|｜²+||²=||²　�、�

|｜+||=2　　　 ②

||｜-|||=4　�、�

①-③²：2||·||=4a，將②代入得a=1，

所以雙曲線的方程為-y²=1

⑵由⑴及題意可得C的方程為+y²=1，所以|QF₁’|+|QF₂’|=2

且F₁’(-2,0),F₂’(2,0)，顯然M點在橢圓內(nèi)部。

所以|QM|+|QF₁’|=|QM|+2-|QF₂’|≤2+|MF₂’|

如圖當(dāng)|QM|-|QF₂’|=|MF₂’|時　|QM|-|QF₂’|的值最大

所以|QM|+|QF₁’|的最大值為2+

錯因：第二問的轉(zhuǎn)化出錯。

13．(磨中)設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P(0，)

到這個橢圓上的點的最遠距離為，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點坐標(biāo)。

　 正確答案：+y²=1

　 錯語原因：①利用相切的條件求解設(shè)有理論依據(jù)

②求最值時忽視了b的范圍而沒有加以討論，導(dǎo)致解題過程出錯。

12．(磨中)設(shè)拋物線y²=2Px(p＞0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，證明直線AC經(jīng)過原點O。

　 正確答案：見2001年全國高考理19題

　 錯誤原因：設(shè)直線斜率為k，考慮到一般情況，而忽視了特殊情況。

11．(搬中) 已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點，直線過原點交橢圓C于A、B兩點。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說明理由。

　　 錯解 設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為、

　　 因為

　　 所以

　　 又橢圓中心為(1，0),右準(zhǔn)線方程為x=5

　　 所以

　　 即

　　 同理

　　 所以

　　 設(shè)直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得

　　 所以

　　 代入(1)式得

　　 所以

　　 所以|有最小值3,無最大值。

　　 剖析　 上述錯解過程忽視了過原點斜率不存在的直線，當(dāng)的斜率不存在時，有

　 所以有最小值為 3，最大值為25/4

10．(搬中)已知雙曲線,問過點A(1，1)能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。

　　 錯解　 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、

　　 則

　　 (1)得

　　 因為A(1，1)為線段PQ的中點，

　　 所以

　　 將(4)、(5)代入(3)得

　　 若，則直線的斜率

　　 所以符合題設(shè)條件的直線存在。

　　 其方程為

　　 剖析　 在(3)式成立的前提下，由(4)、(5)兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。

　　 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由

　　 得

　　 根據(jù),說明所求直線不存在。

9． (搬中)橢圓中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率,已知點P()到橢圓上的點最遠距離是，求這個橢圓的方程。

　　 錯解　 設(shè)所求橢圓方程為

　　 因為

　　 所以a=2b

　　 于是橢圓方程為

　　 設(shè)橢圓上點M(x,y)到點P 的距離為d,

　　 則：

　　 所以當(dāng)時，

　　 有

　　 所以所求橢圓方程為

　　 剖析　 由橢圓方程

　　 得

　　 由(1)式知是y的二次函數(shù)，

　　 其對稱軸為

　　 上述錯解在于沒有就對稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進行分類，

　　 其正確應(yīng)對f(y)=的最值情況進行討論：

　　 (1)當(dāng)，即時

　　 =7

　　 ,方程為

　　 (2)當(dāng),

　　 即時，

　　 ，與矛盾。

　　 綜上所述，所求橢圓方程為