【題目】已知:四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠ADC90°DEAB,垂足為點EDE的鋸長線交⊙O于點F,DC的延長線與FB的延長線交于點G

1)如圖1,求證:GDGF

2)如圖2,過點BBHAD,垂足為點MBDF于點P,連接OG,若點P在線段OG上,且PBPH,求∠ADF的大;

3)如圖3,在(2)的條件下,點MPH的中點,點K上,連接DKPCDPCN,連接MN,若AB12HM+CNMN,求DK的長.

【答案】1)見解析;(2)∠ADF45°;(3

【解析】

1)利用同圓中,同弧所對的圓周角相等可得∠A=∠GFD,由等角的余角相等可得∠A=∠GDF,等量代換得∠GDF=∠GFD,根據(jù)三角形中,等角對等邊GDGF;

2)連接OD、OF,由DPH≌△FPB可得:∠GBH90°,由四邊形內(nèi)角和為360°可得:∠G90°,即可得:∠ADF45°

3)由等腰直角三角形可得AHBH12,DFAB12,由四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,可得:∠BCG45°=∠CBGGCGB,可證四邊形CDHP是矩形,令CNm,利用勾股定理可求得m2,過點NNSDPS,連接AF,FK,過點FFQAD于點Q,過點FFRDKDK的延長線于點R,通過構造直角三角形,應用解直角三角形方法球得DK

解:(1)證明:∵DEAB

∴∠BED90°

∴∠A+ADE90°

∵∠ADC90°

∴∠GDF+ADE90°

∴∠A=∠GDF

∴∠A=∠GFD

∴∠GDF=∠GFD

GDGF

2)連接OD、OF

ODOFGDGF

OGDF,PDPF

DPHFPB

∴△DPH≌△FPBSAS

∴∠FBP=∠DHP90°

∴∠GBH90°

∴∠DGF360°90°90°90°90°

∴∠GDF=∠DFG45°

∴∠ADF45°

3)在RtABH中,∵∠BAH45°,AB12

AHBH12

PHPB6

∵∠HDP=∠HPD45°

DHPH6

AD12+618,PNHMPH3,PD6

∵∠BFE=∠EBF45°

EFBE

∵∠DAE=∠ADE45°

DEAE

DFAB12

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O

∴∠DAB+BCD180°

∴∠BCD135°

∴∠BCG45°=∠CBG

GCGB

又∵∠CGP=∠BGP45°,GPGP

∴△GCP≌△GBPSAS

∴∠PCG=∠PBG90°

∴∠PCD=∠CDH=∠DHP90°

∴四邊形CDHP是矩形

CDHP6,PCDH6,∠CPH90°

CNm,則PN6m,MNm+3

RtPMN中,∵PM2+PN2MN2

32+6m2=(m+32,解得m2

PN4

過點NNSDPS

RtPSN中,PSSN2

DS624

連接AF,FK,過點FFQAD于點Q,過點FFRDKDK的延長線于點R

RtDFQ中,FQDQ12

AQ18126

tan

∵四邊形AFKD內(nèi)接于⊙O,

∴∠DAF+DKF180°

∴∠DAF180°﹣∠DKF=∠FKR

RtDFR中,∵DF

RtFKR中,∵FR tanFKR2

KR

DKDRKR

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