【題目】如圖,在正方形中,邊上一點(diǎn),連接,過,交

1)如圖1,連接,當(dāng),時(shí),求的長(zhǎng);

2)如圖2,對(duì)角線,交于點(diǎn).連接,若,求的長(zhǎng);

3)如圖3,對(duì)角線,交于點(diǎn).連接,,若,試探索的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】1BF=5;(2;(3;理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件可證明得出△ABE≌△DAF,DF=AE=1,則可得出CF的值,再根據(jù)勾股定理即可可得答案.

(2)根據(jù)正方形ABCD對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,即可得出∠CAB=ADB=45°,∠AOB=90°,P,APB=AOB=90°,即AP,O,B四點(diǎn)共圓,∠OPB=OAB=45°,OPB=ADB ,再根據(jù)∠OBP=DBE,即可證明得出△OPB∽△EDB,可得,再根據(jù)DE=2AE=4,可得AD=AB=6,BD=,,,,即.

(3)連接EF,由(2)可得APB=AOB=90°,即A,P,O,B四點(diǎn)共圓,∠OPB=OAB=45°,∠DPE=OPB=45°,再根據(jù)A,P,O,B四點(diǎn)共圓有∠POA=PBA,則DEP=DAB+PBA=AOB+POA=POB,再根據(jù)∠DPE=OPB證明得出DEP∽△BOP,即,再根據(jù)AFBE,∠EDF=90°,得出EDF+EPF=180°,DE,P,F四點(diǎn)共圓,∠DFE=DPE=45°,∠DEF=DFE=45°,DE=DF ,AE=DF,于是AE=DE=,,即可得出.

1)解:∵正方形ABCD.

∴∠DAB=D=C=90°,AB=BC=DC=AD=4

P.

∴∠EBA+FAB=90°,又∠DAF+FAB=90°

∴∠EBA=DAF

又∠DAB=D,AB=DA.

∴△ABE≌△DAF

DF=AE=1,

CF=DCDF=3

RtBFC中,.

BF=5

2)∵正方形ABCD對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,

∴∠CAB=ADB=45°,∠AOB=90°

P. ∴∠APB=AOB=90°

A,PO,B四點(diǎn)共圓. ∴∠OPB=OAB=45°(也可由相似證得).

∴∠OPB=ADB

又∠OBP=DBE,∴△OPB∽△EDB,可得

DE=2AE=4,可得AD=AB=6BD=,,

.

3

理由如下:連接EF.

,由(2)問可知∠APB=AOB=90° ,∴AP,O,B四點(diǎn)共圓,

∴∠OPB=OAB=45°,∴∠DPE=OPB=45°

A,P,O,B四點(diǎn)共圓有∠POA=PBA

DEP=DAB+PBA=AOB+POA=POB

又∠DPE=OPB,∴△DEP∽△BOP,

AFBE,∠EDF=90°,∴EDF+EPF=180°,

DE,PF四點(diǎn)共圓

∴∠DFE=DPE=45°,∴∠DEF=DFE=45°,有DE=DF

AE=DF,于是AE=DE=,

,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④

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1)抽取的這部分男生有______人,請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

2)抽取的這部分男生成績(jī)的中位數(shù)落在_____組?扇形統(tǒng)計(jì)圖中D組對(duì)應(yīng)的圓心角是多少度?

3)如果九年級(jí)有男生400人,請(qǐng)你估計(jì)他們擲實(shí)心球的成績(jī)達(dá)到合格的有多少人?

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【題目】某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“”表示購(gòu)買,“×”表示未購(gòu)買.假定每位顧客購(gòu)買商品的可能性相同.

商品

顧客人數(shù)

100

×

217

×

×

200

×

300

×

×

85

×

×

×

98

×

×

×

1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率為__________

2)如果顧客購(gòu)買了甲,并且同時(shí)也在乙、丙、丁中進(jìn)行了選購(gòu),則購(gòu)買__________(填乙、丙、。┥唐返目赡苄宰畲螅

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【題目】對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn),給出如下定義:點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn),若點(diǎn)使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形,則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn).如圖,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn).

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)

(1)已知點(diǎn),在點(diǎn), ,中,是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)的是 ;

(2)已知點(diǎn),點(diǎn)在直線上,若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3) 點(diǎn)軸上的動(dòng)點(diǎn),,,點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn).且滿足,若直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn),請(qǐng)直接寫出的取值范圍.

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1)求證:是⊙的切線;

2)求證:點(diǎn)的中點(diǎn);

3)當(dāng)⊙的半徑為時(shí),求的值.

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A.12B.13C.24D.26

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(1)求拋物線表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線分別交x軸和直線ABM、N兩點(diǎn),若P、M、N三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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1)如圖1,

①求證:點(diǎn)BC,D在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上;

②直接寫出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)為

2)如圖2,當(dāng)α=60°時(shí),過點(diǎn)DBD的垂線與直線l交于點(diǎn)E,求證:AE=BD

3)如圖3,當(dāng)α=90°時(shí),記直線lCD的交點(diǎn)為F,連接BF.將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中,在什么情況下線段BF的長(zhǎng)取得最大值?若AC=2a,試寫出此時(shí)BF的值.

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