Question

【題目】如圖，線段AB，A（2，3），B（5，3），拋物線y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1與x軸的兩個交點分別為C，D（點C在點D的左側(cè)）

（1）求m為何值時拋物線過原點，并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標(biāo)．

（2）設(shè)拋物線的頂點為P，m為何值時△PCD的面積最大，最大面積是多少．

（3）將線段AB沿y軸向下平移n個單位，求當(dāng)m與n有怎樣的關(guān)系時，拋物線能把線段AB分成1：2兩部分．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)m＝0或m＝2時，拋物線過原點，此時拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，1）；（2）m為1時△PCD的面積最大，最大面積是2；（3）n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線過原點和題目中的函數(shù)解析式可以求得m的值，并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得m為何值時△PCD的面積最大，求得點C、D的坐標(biāo)，由此求出△PCD的面積最大值；

（3）根據(jù)題意拋物線能把線段AB分成1：2，存在兩種情況，求出兩種情況下線段AB與拋物線的交點，即可得到當(dāng)m與n有怎樣的關(guān)系時，拋物線能把線段AB分成1：2兩部分．

（1）當(dāng)y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1過原點（0，0）時，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，

當(dāng)m1＝0時，y＝﹣（x﹣1）2+1，

當(dāng)m2＝2時，y＝﹣（x﹣1）2+1，

由上可得，當(dāng)m＝0或m＝2時，拋物線過原點，此時拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，1）；

（2）∵拋物線y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，

∴該拋物線的頂點P為（1，﹣m2+2m+1），

當(dāng)﹣m2+2m+1最大時，△PCD的面積最大，

∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，

∴當(dāng)m＝1時，﹣m2+2m+1最大為2，

∴y＝﹣（x﹣1）2+2，

當(dāng)y＝0時，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，

∴點C的坐標(biāo)為（1﹣，0），點D的坐標(biāo)為（1+，0）

∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，

∴S△PCD＝＝2，

即m為1時△PCD的面積最大，最大面積是2；

（3）將線段AB沿y軸向下平移n個單位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）

當(dāng)線段AB分成1：2兩部分，則點（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在該拋物線解析式上，

把（3，3﹣n）代入拋物線解析式得，

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+6；

把（4，3﹣n）代入拋物線解析式，得

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+11；

∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．