【題目】如圖,線段AB,A(2,3),B(5,3),拋物線y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1與x軸的兩個交點分別為C,D(點C在點D的左側(cè))
(1)求m為何值時拋物線過原點,并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標(biāo).
(2)設(shè)拋物線的頂點為P,m為何值時△PCD的面積最大,最大面積是多少.
(3)將線段AB沿y軸向下平移n個單位,求當(dāng)m與n有怎樣的關(guān)系時,拋物線能把線段AB分成1:2兩部分.
【答案】(1)當(dāng)m=0或m=2時,拋物線過原點,此時拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+1,對稱軸為直線x=1,頂點為(1,1);(2)m為1時△PCD的面積最大,最大面積是2;(3)n=m2﹣2m+6或n=m2﹣2m+11.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線過原點和題目中的函數(shù)解析式可以求得m的值,并求出此時拋物線的解析式及對稱軸和項點坐標(biāo);
(2)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì),可以求得m為何值時△PCD的面積最大,求得點C、D的坐標(biāo),由此求出△PCD的面積最大值;
(3)根據(jù)題意拋物線能把線段AB分成1:2,存在兩種情況,求出兩種情況下線段AB與拋物線的交點,即可得到當(dāng)m與n有怎樣的關(guān)系時,拋物線能把線段AB分成1:2兩部分.
(1)當(dāng)y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1過原點(0,0)時,0=﹣1﹣m2+2m+1,得m1=0,m2=2,
當(dāng)m1=0時,y=﹣(x﹣1)2+1,
當(dāng)m2=2時,y=﹣(x﹣1)2+1,
由上可得,當(dāng)m=0或m=2時,拋物線過原點,此時拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+1,對稱軸為直線x=1,頂點為(1,1);
(2)∵拋物線y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1,
∴該拋物線的頂點P為(1,﹣m2+2m+1),
當(dāng)﹣m2+2m+1最大時,△PCD的面積最大,
∵﹣m2+2m+1=﹣(m﹣1)2+2,
∴當(dāng)m=1時,﹣m2+2m+1最大為2,
∴y=﹣(x﹣1)2+2,
當(dāng)y=0時,0=﹣(x﹣1)2+2,得x1=1+,x2=1﹣,
∴點C的坐標(biāo)為(1﹣,0),點D的坐標(biāo)為(1+,0)
∴CD=(1+)﹣(1﹣)=2,
∴S△PCD==2,
即m為1時△PCD的面積最大,最大面積是2;
(3)將線段AB沿y軸向下平移n個單位A(2,3﹣n),B(5,3﹣n)
當(dāng)線段AB分成1:2兩部分,則點(3,3﹣n)或(4,3﹣n)在該拋物線解析式上,
把(3,3﹣n)代入拋物線解析式得,
3﹣n=﹣(3﹣1)2﹣m2+3m+1,
得n=m2﹣2m+6;
把(4,3﹣n)代入拋物線解析式,得
3﹣n=﹣(3﹣1)2﹣m2+3m+1,
得n=m2﹣2m+11;
∴n=m2﹣2m+6或n=m2﹣2m+11.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,D是的中點,E為OD延長線上一點,且∠CAE=2∠C,AC與BD交于點H,與OE交于點F.
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若DH=9,tanC=,求直徑AB的長.
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【題目】某店因為經(jīng)營不善欠下68400元的無息貸款的債務(wù),想轉(zhuǎn)行經(jīng)營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金,并約定利用經(jīng)營的利潤償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計利息).已知該店代理的品牌服裝的進(jìn)價為每件40元,該品牌服裝日銷售量(件)與銷售價(元件)之間的關(guān)系可用圖中的一條折線(實線)來表示.該店應(yīng)支付員工的工資為每人每天82元,每天還應(yīng)支付其它費用為106元(不包含債務(wù)).
(1)求日銷售量(件)與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該店暫不考慮償還債務(wù),當(dāng)某天的銷售價為48元/件時,當(dāng)天正好收支平衡(收入=支出),求該店員工的人數(shù);
(3)若該店只有2名員工,則該店最早需要多少天能還清所有債務(wù),此時每件服裝的價格應(yīng)定為多少元?
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【題目】如圖,AB為⊙O直徑,C、D為⊙O上不同于A、B的兩點,∠ABD=2∠BAC,連接CD.過點C作CE⊥DB,垂足為E,直線AB與CE相交于F點.
(1)求證:CF為⊙O的切線;
(2)當(dāng)BF=5,時,求BD的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的邊長為4,把它內(nèi)部及邊上的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點,點P為拋物線的頂點(m為整數(shù)),當(dāng)點P在正方形OABC內(nèi)部或邊上時,拋物線下方(包括邊界)的整點最少有( )
A.3個B.5個C.10個D.15個
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【題目】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),甲車勻速前往B地,到達(dá)B地立即以另一速度按原路勻速返回到A地;乙車勻速前往A地,設(shè)甲、乙兩車距離A地的距離為y(km).甲車行駛的時間為x(h),y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)甲車從A地前往B地的速度為______km/h;
(2)求甲車返回時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)甲、乙兩車相距50km時,直接寫出甲車行駛的時間.
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【題目】已知是非零實數(shù),,在同一平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)與一次函數(shù)的大致圖象不可能是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,海面上甲、乙兩船分別從A,B兩處同時出發(fā),由西向東行駛,甲船的速度為24n mile/h,乙船的速度為15n mile/h,出發(fā)時,測得乙船在甲船北偏東50°方向,且AB=10nmile,經(jīng)過20分鐘后,甲、乙兩船分別到達(dá)C,D兩處.
(參考值:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)
(1)求兩條航線間的距離;
(2)若兩船保持原來的速度和航向,還需要多少時間才能使兩船的距離最短?(精確到0.01)
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【題目】端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日,人們素有吃粽子的習(xí)俗,某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進(jìn)、兩種粽子1100個,購買種粽子與購買種粽子的費用相同,已知粽子的單價是種粽子單價的1.2倍.
(1)求、兩種粽子的單價各是多少?
(2)若計劃用不超過7000元的資金再次購買、兩種粽子共2600個,已知、兩種粽子的進(jìn)價不變,求中粽子最多能購進(jìn)多少個?
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