Question

【題目】定義：如果過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線與對(duì)邊所在直線相交，得到的三角形中有一個(gè)與原三角形相似，那么我們稱(chēng)這樣的直線為三角形的相似線．

如圖1，△ABC中，直線CD與AB交于點(diǎn)D，若△ACD∽△ABC，則稱(chēng)直線CD是△ABC的相似線．

解決問(wèn)題：

已知：如圖2，在△ABC中，∠BAC＞∠ACB ＞∠ABC．

求作：△ABC的相似線．

（1）小明用如下方法作出△ABC的一條相似線：

作法：如圖3，①作△ABC的外接圓⊙O；

②以C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與⊙O交于點(diǎn)P；

③連接AP，交BC于點(diǎn)D．

則直線AD為△ABC的相似線．

請(qǐng)你證明小明的作法的正確性．

（2）過(guò)A點(diǎn)還有其它的△ABC的相似線，請(qǐng)你參考（1）中的作法與結(jié)論，利用尺規(guī)作圖，在圖3中再作出一條△ABC的相似線AE；（寫(xiě)出作法，保留作圖痕跡，不要證明）

（3）若△ABC中，∠BAC=90°，則△ABC中過(guò)A點(diǎn)的相似線有 條，過(guò)B點(diǎn)的相似線有 條．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）1條，3條．

【解析】(1)連接CP，根據(jù)條件得出△ABC∽△DAC，即可求解；（2）截取BQ=BA，再作直線AQ，即可；（3）根據(jù)相似三角形的判定方法分別利用平行線及垂直平分線的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等即可.

（1）連接CP，由作圖可得AC=PC，則=

∴∠EAC=∠B

∵∠C是公共角

∴△ABC∽△DAC

∴直線AD為△ABC的相似線．

（2）如圖，截取BQ=BA，交⊙O于點(diǎn)Q；

作直線AQ，交BC于點(diǎn)E．

則直線AE為所求作的相似線．

畫(huà)圖正確

（3）1條，3條