Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在射線BC上．

發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)D在BC邊上，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長線于點(diǎn)F，求的值為．

解決問題：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點(diǎn)P，DC：BC=1：2．求的值.

應(yīng)用：若CD=2，AC=6，求BP的值．

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)：；解決問題：；應(yīng)用：6．

【解析】

發(fā)現(xiàn)：易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．設(shè)CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出的值；

解決問題：過點(diǎn)A作AF∥DB，交BE的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易證△AEF≌△CEB，則有EF=BE，AF=BC=2k．易證△AFP∽△DBP，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出的值；

應(yīng)用：當(dāng)CD=2時(shí)，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根據(jù)的值求出的值，就可求出BP的值．

發(fā)現(xiàn)：如圖1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC．

∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．

設(shè)CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．

故答案為：；

解決問題：

如圖2中，過點(diǎn)A作AF∥DB，交BE的延長線于點(diǎn)F，如圖，設(shè)DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．

∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=CE．

∵AF∥DB，∴∠F=∠1．

在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．

∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．

應(yīng)用：

當(dāng)CD=2時(shí)，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．

∵=（已證），∴=，∴BP=BF=×10=6．

故答案為：6．