Question

已知：如圖1，在中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是D、E，連接DE。

（1）       求∠AED的度數(shù).

（2）       ①求證：EB-EC=DE

       ②若點A為直線AB上的動點，當點A運動到如圖2位置時，①中的結論是否成立，若成立，說明理由；若不成立，直接寫出類似的結論（不必證明）。

（3）       若點A運動到BD的延長線時，如圖3所示，當DC=，DE=2時(0<BE<2),求AE的長。

           

圖1                    圖2                              圖3

Answer 1

（1）解：如圖1：∵ CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別是D、E.

           ∴∠AEB=∠ADC=90°

           ∵∠A=∠A

           ∴∽

           ∴

           ∴   

又∵∠A=∠A

           ∴∽

           ∴∠AED=∠ABC=45°

圖1                                         圖2                       

（2）①證明：如圖2：在BE上截取BH=EC

           ∵∽

           ∴∠1=∠2

           ∵CD⊥AB

           ∴∠BDC=90°且∠ABC=45°

           ∴BD=DC

           在和中

           ∵ BD=DC，∠1=∠2 ，BH=EC

          ∴≌（SAS）         

          ∴DH=DE    ∠3=∠4

          ∵∠3+∠5=90°

          ∴∠HDE=∠4+∠5=90°

    ∴為等腰直角三角形

       ∴BE-EC=BE-BH=HE=DE         

 ∴BE - EC=DE                 

  ②如圖2，原結論不成立,，結論應為：EC-BE=DE

（3）如圖3：延長EB到H，使BH=EC

同理可證：∽，∽

       ∠DEC=45° ∴為等腰直角三角形

       ∵∠1=∠2=∠DCE

         BD=DC

         BH=EC

       ∴≌（SAS）                    

∴DE=DH

       ∴∠5=180°-90°-45°=45°

       ∴∠5=∠H=45°

       ∴為等腰直角三角形

       ∴HB+BE=EC+BE=HB=DE                                     圖3

       ∴EC+BE=DE                 

       設BE=x

∵為等腰直角三角形

       ∴BC=DC= 

       ∵EC+BE=DE    即EC+X=·=4

 ∴EC=4-X

       在Rt中，由勾股定理得：

       解得：X=1或3      

      ∵ 0<BE<2

      ∴ BE=1 (如圖3)               

      ∴tan∠3=

      延長DE，過點A作AF⊥DE的延長線于點F

      在Rt中，tan∠4= tan∠3=

     ∵∠AEF=∠DEC=45°

     ∴設AF=EF=a 則DF=3a

     ∴ DE=3a-a=2a=

     ∴  a=

     ∴AE=·=2