【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中,點(diǎn)OAD上一動(dòng)點(diǎn)(4OA8),以O為圓心,OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BCN.

(1)求證:△ODM∽△MCN;

(2)設(shè)DM=x,OA=R,求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在動(dòng)點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(OA逐漸增大)的過(guò)程中,△CMN的周長(zhǎng)如何變化?說(shuō)明理由.

【答案】1)存在△MCN△ODM相似,證明見(jiàn)矩形;

2R=

3△CMN的周長(zhǎng)是一個(gè)定值,理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OMN=90,從而證得∠OMD=∠MNC;則△ODM∽△MCN;

2)由DM=x,設(shè)OA=OM=R;則得出OD,由勾股定理得Rx的關(guān)系;

3)可分為兩種解法得出答案.由△ODM∽△MCN,得,用含x的式子表示出CNMN,從而得出△CMN的周長(zhǎng)是一個(gè)定值.

試題解析:(1)存在△MCN△ODM相似,證明如下:

∵M(jìn)N⊙O于點(diǎn)M∴∠OMN=90°∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°,∴∠OMD=∠MNC,又∵∠D=∠C=90°,∴△ODM∽△MCN

2)在Rt△ODM中,DM=x,設(shè)OA=OM=R,∴OD=AD﹣OA=8﹣R,由勾股定理得:(8﹣R2+x2=R2

∴64﹣16R+R2+x2=R2∴R=

3∵CM=CD﹣DM=8﹣x,OD=8﹣R=8﹣,且有△ODM∽△MCN,代入得到:CN=

同理,代入得到:MN=,∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+CN+MN=8﹣x++=8﹣x+x+8=16

在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△CMN的周長(zhǎng)始終為16,是一個(gè)定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)A·C(__________,__________),B·C(__________,__________),C·__________(-3,-4);

(2)若貝貝從A處去尋找妮妮的行走路線依次為(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出妮妮的位置點(diǎn)E.

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