Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的∠MDN，點M、N分別在AB、AC上，連接MN，則△AMN的周長為 ．

Answer 1

【答案】5．

【解析】

試題分析：延長CD、BD，分別交AB于Q，交AC于P，在AC上取一點K，使KP=QM，連接DK，

∵△BDC是頂角為120°的等腰三角形，

∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BPC=∠CQB=90°，

∴PC=BC，BQ=BC，

∴PC=BQ=AQ=AP=×5=，

在Rt△BDQ和Rt△CDP中，

∵ ，

∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），

∴DQ=PD，

同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，

∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，

∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，

∴∠QDM+∠NDP=60°，

∴∠PDK+∠NDP=60°，

即∠NDK=60°，

∴∠NDK=∠MDN=60°，

∵ND=ND，

∴△MDN≌△KDN，

∴MN=NK=NP+PK，

∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AP+AQ=+=5，