Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).若正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形，記旋轉(zhuǎn)角為.

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求長(zhǎng)的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的坐標(biāo)為；（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)α=45°時(shí)，則，點(diǎn)在y軸上，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，再根據(jù)Rt△為等腰直角三角形，可得，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)作軸，垂足為，與軸交于點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，可證得，再利用直角三角形中所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理，求出OD和，同理可求出的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（Ⅲ）連接OB，AC相交于點(diǎn)K，則K是OB的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>P為線(xiàn)段BC′的中點(diǎn)，所以PK=OC′=3，即點(diǎn)P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可得出AP長(zhǎng)的取值范圍．

解：（Ⅰ）∵點(diǎn)，點(diǎn)，為正方形，

∴，.

∵正方形是正方形旋轉(zhuǎn)得到的，

∴，.

∴，.

∴.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（Ⅱ）過(guò)作軸，垂足為，與軸交于點(diǎn).

∵，

∴.

∵,=6

∴,，.

∴.

∵, , ∴.

∴，.

∴.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（Ⅲ）.

如圖③，連接OB，AC相交于點(diǎn)K，
則K是OB、AC的中點(diǎn)，
∵P為線(xiàn)段BC′的中點(diǎn)，
∴PK=OC′=3，AK=
∴P在以K為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴AP最大值為AK+KP＝，AP的最小值為AK-KP＝，
∴AP長(zhǎng)的取值范圍為:.