Question

【題目】問(wèn)題背景

如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，

，于是．

遷移應(yīng)用

（1）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．

（�。┣笞C：△ADB≌△AEC；

（ⅱ）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式．

拓展延伸

（2）如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．

（�。┳C明：△CEF是等邊三角形；

（ⅱ）若AE=5，CE=2，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）3

【解析】分析：（ⅰ）根據(jù),得到，又,即可證明.

（ⅱ）根據(jù) ≌，得到借助問(wèn)題背景的結(jié)論得到

根據(jù)即可寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式．

（�。┻B接BE．根據(jù)有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形證明即可.

（ⅱ）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AF于H, AE=5，EF=EC=2，得到FH=4.5，根據(jù) , 即可求出BF的長(zhǎng).

詳解：（1）（�。┤鐖D，∵, ≌.

∴ ,

在和中，

∵

∴ ≌.

（ⅱ） ≌.

.

（2）（�。┻B接BE．如圖3，

∵E、C關(guān)于BM對(duì)稱(chēng),

∴ 設(shè)，則,

.

∵

∴

∴，

又∵

∴△CEF是等邊三角形

（ⅱ）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AF于H

∵AE=5，EF=EC=2，

∴FH=4.5，

在Rt△BHF中，

∵∠BFH=30°，

∴ ,

∴.