Question

【題目】在正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)．

（1）求證：△ADQ∽△QCP；

（2）若PQ＝3，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）在所要求證的兩個(gè)三角形中，已知的等量條件為：∠D＝∠C＝90°，若證明兩三角形相似，可證兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例；

（2）證明AQ＝2PQ，AQ⊥PQ即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°；

又∵Q是CD中點(diǎn)，

∴CQ＝DQ＝AD；

∵BP＝3PC，

∴CP＝AD，

∴＝＝，

又∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ADQ∽△QCP；

（2）由（1）知，△ADQ∽△QCP，＝＝，

∴AQ＝2PQ，

∵PQ＝3，

∴AQ＝6，

∵△ADQ∽△QCP，

∴∠AQD＝∠QPC，∠DAQ＝∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA＝DAQ+AQD＝90°，

∴AQ⊥QP，

∴∠AQP＝90°，

∴PA＝＝3．