Question

平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，點C的坐標為（﹣3，4），點A在x軸的正半軸上，O為坐標原點，連接OB，拋物線y=ax²+bx+c經過C、O、A三點．

（1）直接寫出這條拋物線的解析式；

（2）如圖1，對于所求拋物線對稱軸上的一點E，設△EBO的面積為S₁，菱形ABCD的面積為S₂，當S₁≤S₂時，求點E的縱坐標n的取值范圍；

（3）如圖2，D（0，﹣）為y軸上一點，連接AD，動點P從點O出發(fā)，以個單位/秒的速度沿OB方向運動，1秒后，動點Q從O出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿折線O﹣A﹣B方向運動，設點P運動時間為t秒（0＜t＜6），是否存在實數t，使得以P、Q、B為頂點的三角形與△ADO相似？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）根據題意得：，

解得：，

則拋物線的解析式是：y=x²﹣x；

（2）設BC與y軸相交于點G，則S₂=OG•BC=20，

∴S₁≤5，

又OB所在直線的解析式是y=2x，OB==2，

∴當S₁=5時，△EBO的OB邊上的高是．

如圖1，設平行于OB的直線為y=2x+b，則它與y軸的交點為M（0，b），與拋物線對稱軸x=交于點E（，n）．

過點O作ON⊥ME，點N為垂足，若ON=，由△MNO∽△OGB，得OM=5，

∴y=2x﹣5，

由，

解得：y=0，

即E的坐標是（，0）．

∵與OB平行且到OB的距離是的直線有兩條．

∴由對稱性可得另一條直線的解析式是：y=2x+5．

則E′的坐標是（，10）．

由題意得得，n的取值范圍是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如圖2，動點P、Q按題意運動時，

當1＜t＜3.5時，

OP=t，BP=2﹣t，OQ=2（t﹣1），

連接QP，當QP⊥OP時，有=，

∴PQ=（t﹣1），

若=，則有=，

又∵∠QPB=∠DOA=90°，

∴△BPQ∽△AOD，

此時，PB=2PQ，即2﹣t=（t﹣1），

10﹣t=8（t﹣1），

∴t=2；

當3.5≤t≤6時，QB=10﹣2（t﹣1）=12﹣2t，連接QP．

若QP⊥BP，

則有∠PBQ=∠ODA，

又∵∠QPB=∠AOD=90°，

∴△BPQ∽△DOA，

此時，PB=PB，即12﹣2t=（2﹣t），12﹣2t=10﹣t，

∴t=2（不合題意，舍去）．

若QP⊥BQ，則△BPQ∽△DAO，

此時，PB=BQ，

即2﹣t=（12﹣2t），2﹣t=12﹣2t，

解得：t=．

則t的值為2或．