Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（1，0），與軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△BCM周長(zhǎng)最小？若存在，求出△BCM周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD//軸，交AC于點(diǎn)D，當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，；（3）P（1,0）或（2，-1）

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）連接AC交直線于點(diǎn)M，連接BM．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)BM+MC=AM+MC=AC，即△ABM周長(zhǎng)最短；

（3）分當(dāng)∠APD=90°時(shí)和當(dāng)∠PAD=90°時(shí)兩種情況求解即可．

解：（1）將B(1，0)，C(0，3)代入中，得

，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）存在．

連接AC交直線于點(diǎn)M，連接BM．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，

∴BM=CM，

∴BM+MC=AM+MC=AC，

∴此時(shí)△ABM周長(zhǎng)最短．

∵，

∴△ABM的周長(zhǎng)最小為AC+BC=；

（3）由題得，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，

∴OA=OC ，∴∠CAO=45°，

當(dāng)∠APD=90°時(shí)，∵PD//y軸，AB⊥y軸，

∴PD⊥AB，∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，則∠PAB=∠DAB=45°，

∵AB⊥PD，∴，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A(3，0)， C(0，3)代入得

，

解得

，

∴直線AC的解析式為y=-x+3，

設(shè)點(diǎn)D(m，-m+3)，點(diǎn)P(m，m2﹣4m+3)，

∴，解得（舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)，

綜上所述，P(1，0)或(2，-1)．