【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線x軸交于點(diǎn)A,B10),與軸交于點(diǎn)C03),對(duì)稱軸為直線

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△BCM周長(zhǎng)最小?若存在,求出△BCM周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)PPD//軸,交AC于點(diǎn)D,當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x24x+3;(2)存在,;(3)P1,0)或(2-1

【解析】

1)用待定系數(shù)法求解即可;

2)連接AC交直線于點(diǎn)M,連接BM.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)BM+MC=AM+MC=AC,即△ABM周長(zhǎng)最短;

3)分當(dāng)∠APD=90°時(shí)和當(dāng)∠PAD=90°時(shí)兩種情況求解即可.

解:(1)將B(1,0)C(0,3)代入中,得

,解得

拋物線解析式為y=x24x+3;

2)存在.

連接AC交直線于點(diǎn)M,連接BM

點(diǎn)A,B關(guān)于直線對(duì)稱,

∴BM=CM,

∴BM+MC=AM+MC=AC

此時(shí)△ABM周長(zhǎng)最短.

,

∴△ABM的周長(zhǎng)最小為AC+BC=

3)由題得,A(30),B(10),C(03),

∴OA=OC ∴∠CAO=45°,

當(dāng)∠APD=90°時(shí),∵PD//y軸,AB⊥y軸,

∴PD⊥AB,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);

當(dāng)∠PAD=90°時(shí),則∠PAB=∠DAB=45°

∵AB⊥PD,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

A(30), C(03)代入得

,

解得

∴直線AC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)D(m-m+3),點(diǎn)P(mm24m+3),

,解得(舍去),

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2-1),

綜上所述,P(1,0)(2,-1)

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