Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，BC2，∠BAC30°，斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM，ON上滑動(dòng)，下列結(jié)論： ①若C，O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，則OA；②C，O兩點(diǎn)距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.

其中正確的是（ ）

A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求AC和AB，由對(duì)稱的性質(zhì)可知：AB是OC的垂直平分線，所以
②當(dāng)OC經(jīng)過AB的中點(diǎn)E時(shí)，OC最大，則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；
③如圖2，當(dāng)∠ABO=30°時(shí)，易證四邊形OACB是矩形，此時(shí)AB與CO互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，或者根據(jù)四點(diǎn)共圓可知：A、C、B、O四點(diǎn)共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關(guān)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當(dāng)這條弦也是直徑時(shí)，即OC是直徑時(shí)，AB與OC互相平分，但AB與OC不一定垂直；
④如圖3，半徑為2，圓心角為90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．

詳解：在Rt△ABC中,∵

∴

①若C.O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，如圖1，

∴AB是OC的垂直平分線，

則

所以①正確；

②如圖1，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE、CE，

∵

∴

當(dāng)OC經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，OC最大，

則C.O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

所以②正確；

③如圖2,當(dāng)時(shí),

∴四邊形AOBC是矩形，

∴AB與OC互相平分，

但AB與OC的夾角為不垂直，

所以③不正確；

④如圖3,斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O為圓心,以2為半徑的圓周的

則：

所以④正確；

綜上所述，本題正確的有：①②④；

故選D.