Question

【題目】二次函數(shù)y=+bx+c與一次函數(shù)y=kx﹣3的圖象都經(jīng)過x軸上的點A（4，0）和y軸上點C（0，﹣3）．

（1）直接寫出b，c，k的值，b=　　，c=　　，k=　　；

（2）二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B，點M（m，0）在線段AB上運動，過點M作x軸的垂線交直線AC于點D；交拋物線于點P．

①是否存在實數(shù)m，使△PCD為直角三角形．若存在、求出m的值；若不存在，請說明理由；

②當0＜m＜4時，過D作直線AC的垂線交x軸于點Q，求PD+DQ的最大值．

Answer 1

【答案】(1)﹣，﹣3；；（2）①存在，m的值為2或﹣；② ．

【解析】

(1)根據(jù)點A、B在二次函數(shù) 的圖象上，列方程組即可求出b、c的值，把點A代入y=kx﹣3求出k的值即可.（2）①由點M坐標為（m，0）可知點 D、P的坐標分別為D（m， m﹣3），P（m，m2﹣m﹣3），當∠DPC=90°時，CP⊥PD，則m2﹣m﹣3=﹣3，解方程得m=0（舍去）或m=2，當∠PCD=90°，CP⊥CD，

直線PC交x軸于N，如圖2，可證明△AMD∽△AOC，得OC2=ONOA，所以 ON= 可知點N坐標為（﹣，0），得直線CN的解析式為y=﹣x﹣3，列方程組求出P點坐標，即可得m的值.，②由可知OC=3，OA=4，AC=5，因為DM∥OC，所以△AMD∽△AOC，得 ，AM=4-m，所以AD= -m+5，由DQ⊥AC，可證明△ADQ∽△AOC，所以 ，得DQ=﹣m+，因為DP=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3），=﹣m2+m，所以PQ+DQ=+，

當m=時，PQ+DQ有最大值，

（1）把A（4，0），C（0，﹣3）代入y= +bx+c得解得 ，

∴拋物線解析式為y= ﹣x﹣3；

把A（4，0）代入y=kx﹣3得4k﹣3=0，解得k=，

直線AC的解析式為y=x﹣3；

故答案為﹣，﹣3；

（2）①存在．

M（m，0），則D（m， m﹣3），P（m，m2﹣m﹣3），

當∠DPC=90°時，CP⊥PD，則m2﹣m﹣3=﹣3，解得，m1=0（舍去），m2=2；

當∠PCD=90°，CP⊥CD，

直線PC交x軸于N，如圖2，

易得△CON∽△AOC，

∴OC2=ONOA，

∴ON=，則N（﹣，0），

易得直線CN的解析式為y=﹣ x﹣3，

解方程組得 或 ，則P（﹣，﹣ ），

綜上所述，m的值為2或﹣；

②M（m，0），則D（m， m﹣3），P（m，m2﹣m﹣3），

∵OC=3，OA=4，

∴AC=5，

∵DM∥OC，

∴△AMD∽△AOC，

∴ ，即 ，解得AD=﹣m+5，

∵DQ⊥AC，

∴△ADQ∽△AOC，

∴，即= ，解得DQ=﹣m+，

而DP=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m，

∴DP+DQ=﹣m2+m﹣m+=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，

當m=時，PD+DQ有最大值為．