Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點(diǎn)B恰好與CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P重合（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，D重合），折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，連接MB，MP，BP，BP與MN相交于點(diǎn)F．

（1）求證：△BFN∽△BCP；

（2）①在圖2中，作出經(jīng)過(guò)M，D，P三點(diǎn)的⊙O（要求保留作圖痕跡，不寫做法）；

②設(shè)AB=4，隨著點(diǎn)P在CD上的運(yùn)動(dòng)，若①中的⊙O恰好與BM，BC同時(shí)相切，求此時(shí)DP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①作圖見解析；②3．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，MN垂直平分線段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性質(zhì)可得出∠C=90°=∠BFN，結(jié)合公共角∠FBN=∠CBP，即可證出△BFN∽△BCP；

（2）①在圖2中，作MD、DP的垂直平分線，交于點(diǎn)O，以O(shè)D為半徑作圓即可；

②設(shè)⊙O與BC的交點(diǎn)為E，連接OB、OE，由△MDP為直角三角形，可得出AP為⊙O的直徑，根據(jù)BM與⊙O相切，可得出MP⊥BM，進(jìn)而可得出△BMP為等腰直角三角形，根據(jù)同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，結(jié)合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可證出△ABM≌△DMP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DM=AB=4、DP=AM，設(shè)DP=2a，根據(jù)勾股定理結(jié)合半徑為直徑的一半，即可得出關(guān)于a的方程，解之即可得出a值，再將a代入OP=2a中求出DP的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）證明：∵將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點(diǎn)B恰好與CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P重合，∴MN垂直平分線段BP，∴∠BFN=90°．

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C=90°．

∵∠FBN=∠CBP，∴△BFN∽△BCP．

（2）解：①在圖2中，作MD、DP的垂直平分線，交于點(diǎn)O，以O(shè)D為半徑作圓即可．如圖所示．

②設(shè)⊙O與BC的交點(diǎn)為E，連接OB、OE，如圖3所示．

∵△MDP為直角三角形，∴AP為⊙O的直徑，∵BM與⊙O相切，∴MP⊥BM．

∵MB=MP，∴△BMP為等腰直角三角形．

∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，∴∠PMD=∠MBA．

在△ABM和△DMP中，∵∠MBA=∠PMD，∠A=∠PMD=90°，BM=MP，∴△ABM≌△DMP（AAS），∴DM=AB=4，DP=AM．

設(shè)DP=2a，則AM=2a，OE=4﹣a，BM= =．

∵BM=MP=2OE，∴=2×（4﹣a），解得：a=，∴DP=2a=3．