【題目】如圖,在矩形中,已知,,點(diǎn)是對角線上一動點(diǎn)(不與,重合),連接,過點(diǎn)作,交于點(diǎn),
(1)求證:;
(2)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時,求的值;
(3)在點(diǎn)運(yùn)動過程中,當(dāng)時,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)DE為;(3)BP的值為
【解析】
(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得到∠ADC=90°,在四邊形ADEP中根據(jù)內(nèi)角和定理得到∠DEP+∠DAP=180°,再根據(jù)同角的余角相等即可證明;
(2)連接AC,求出∠ADB=60°,證明△ADP為等邊三角形,證明Rt△ADE≌Rt△APE,求出∠DAE=∠PAE=30°,根據(jù),即可求出DE;
(3)過點(diǎn)P作PG⊥AB于G,GP的延長線交DC于H,設(shè)PG=a,AG=,EH= ,證明△AGP∽△PHE,得到,構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程即可.
(1)證明:∵PE⊥AP,∴∠APE=90°;
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°
在四邊形ADEP中
∠ADE+∠DEP+∠APE+∠DAP=360°
∴∠DEP+∠DAP=360°-90°-90°=180°
又∵∠DEP+∠PEC=180°
∴∠PAD=∠PEC
(2)連接AC,
∵四邊形ABCD是矩形,AB=,AD=2;
∴
∴∠ADB=60°
∵當(dāng)點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)
∴點(diǎn)P為AC與BD的交點(diǎn)
∴△ADP為等邊三角形
∴AP=AD=2
在Rt△ADE和Rt△APE中
∴Rt△ADE≌Rt△APE(HL)
∴∠DAE=∠PAE=30°
∴
∴
答:DE為
(3)如圖,過點(diǎn)P作PG⊥AB于G,GP的延長線交DC于H,四邊形ABCD是矩形
∴PG⊥DC,
∴GH=BC=2,
設(shè)PG=a,則PH=GH﹣PH=2﹣a,
在Rt△BGP中,
tan∠PBG=,
∴BG=PG=a,
∴AG=AB﹣BG=2﹣a=(2﹣a),
EH=DH-DE=2﹣a﹣=﹣a
∵PG⊥DC,
∴∠APG+∠EPH=90°,
∵∠APG+∠PAG=90°,
∴∠EPH=∠PAG,
∵∠AGP=∠PHE=90°,
∴△AGP∽△PHE,
∴,
∴BP=2PG=
答:BP的值為.
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【題目】“食品安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,育才中學(xué)對部分學(xué)生就食品安全知識的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面的兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有________人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為_________;
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若對食品安全知識達(dá)到“了解”程度的學(xué)生中,男、女生的比例恰為,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人參加食品安全知識競賽,則恰好抽到個男生和個女生的概率________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開展了“創(chuàng)建文明校園”活動周,活動周設(shè)置了“A:文明禮儀,B:生態(tài)環(huán)境,C:交通安全,D:衛(wèi)生保潔”四個主題,每個學(xué)生選一個主題參與.為了解活動開展情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“A”所在扇形的圓心角等于 度;
(4)小明和小華各自隨機(jī)參加其中的一個主題活動,請用畫樹狀圖或列表的方式,求他們恰好同時選中“文明禮儀”或“生態(tài)環(huán)境”主題的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),是以為圓心,1為半徑的圓上一動點(diǎn),連接、,當(dāng)的面積最大時,點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,扇形,且,,為弧上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),設(shè)的內(nèi)心為,連接、.當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時,內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長為________.
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【題目】如圖,在中,AB為的直徑,C為上一點(diǎn),P是的中點(diǎn),過點(diǎn)P作AC的垂線,交AC的延長線于點(diǎn)D.
(1)求證:DP是的切線;
(2)若AC=5,,求AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn),BG∥AC交DA的延長線于點(diǎn)G.
(1)求證:△ADF≌△CBE;
(2)若四邊形AGBC是矩形,判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將菱形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形,使點(diǎn)落在對角線上,連接,,則下列結(jié)論一定正確的是( )
A.B.
C.是等邊三角形D.
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【題目】為了解“生物”學(xué)科學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,某校從七年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行測試,測試結(jié)果分為四個等級::優(yōu)秀,:良好,:及格,:不及格,并將結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中信息回答下列問題:
(1)共抽取了多少名學(xué)生進(jìn)行測試?
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校七年級學(xué)生共有450名學(xué)生,請你估計(jì)該!吧铩睂W(xué)科不及格的學(xué)生人數(shù)是多少.
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