【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)(P與B、C不重合),連接AP,過點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q,將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′,延長QC′交BA的延長線于點(diǎn)M.

(1)試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)AB=3,BP=2PC,求QM的長;
(3)當(dāng)BP=m,PC=n時,求AM的長.

【答案】
(1)

解:AP=BQ.

理由:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,

∴∠ABQ+∠CBQ=90°.

∵BQ⊥AP,∴∠PAB+∠QBA=90°,

∴∠PAB=∠CBQ.

在△PBA和△QCB中,

∴△PBA≌△QCB,

∴AP=BQ;


(2)

解:過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴QH=BC=AB=3.

∵BP=2PC,

∴BP=2,PC=1,

∴BQ=AP= = =

∴BH= = =2.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴DC∥AB,

∴∠CQB=∠QBA.

由折疊可得∠C′QB=∠CQB,

∴∠QBA=∠C′QB,

∴MQ=MB.

設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x﹣2.

在Rt△MHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=(x﹣2)2+32,

解得x=

∴QM的長為 ;


(3)

解:過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖.

∵四邊形ABCD是正方形,BP=m,PC=n,

∴QH=BC=AB=m+n.

∴BQ2=AP2=AB2+PB2,

∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2

∴BH=PB=m.

設(shè)QM=x,則有MB=QM=x,MH=x﹣m.

在Rt△MHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=(x﹣m)2+(m+n)2,

解得x=m+n+

∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n=

∴AM的長為


【解析】(1)要證AP=BQ,只需證△PBA≌△QCB即可;(2)過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后運(yùn)用勾股定理可求得AP(即BQ)= ,BH=2.易得DC∥AB,從而有∠CQB=∠QBA.由折疊可得∠C′QB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠C′QB,即可得到MQ=MB.設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x﹣2.在Rt△MHQ中運(yùn)用勾股定理就可解決問題;(3)過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖,同(2)的方法求出QM的長,就可得到AM的長.

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