Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左則，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)．

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求出四邊形ABPC的面積最大時的P點(diǎn)坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；

（3）連結(jié)PO、PC，在同一平面內(nèi)把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（4）在直線BC找一點(diǎn)Q，使得△QOC為等腰三角形，請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣2x﹣3；(2) 點(diǎn)P(，)時，四邊形ABPC的面積有最大值為；(3) 存在點(diǎn)P（，），使四邊形POP′C為菱形；(4)（，﹣3）或（，﹣3）或（3，0）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）有點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得出直線BC的表達(dá)式，過P作PD∥y軸，交BC于D，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積以及三角形的面積公式即可得出關(guān)于a的二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）取OC的中點(diǎn)E，過E作OC的垂線交拋物線于P，在PE的延長線上取EP′=PE，連接P′O、P′C，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)P和點(diǎn)P′的坐標(biāo)，此題得解；

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m﹣3），結(jié)合點(diǎn)O、C的坐標(biāo)即可得出OC、OQ、QC的長度，分OC=OQ、OC=QC以及OQ=QC三種情況考慮，由此即可得出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，將其代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=+bx+c中，

得：，解得：，

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣2x﹣3；

（2）∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），

∴直線BC：y=x﹣3．

過P作PD∥y軸，交BC于D，如圖1所示．

設(shè)P（a，﹣2a﹣3），則點(diǎn)D（a，a﹣3），

當(dāng)y=0時，﹣2x﹣3=0，

解得：=﹣1，=3，

∴點(diǎn)A（﹣1，0）．

則=AB||+OBDP=×4×3+×3×[a﹣3﹣（﹣2a﹣3）]=，

∵＜0，0＜a＜3，

∴當(dāng)a=時，﹣2a﹣3==，

∴點(diǎn)P(，)時，四邊形ABPC的面積有最大值，最大值為；

（3）取OC的中點(diǎn)E，過E作OC的垂線交拋物線于P，在PE的延長線上取EP′=PE，連接P′O、P′C，如圖2所示．

∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，

∴四邊形POP′C為菱形．

當(dāng)y=，則有=﹣2x﹣3，

解得：=（舍去），=，

∴存在點(diǎn)P（，），使四邊形POP′C為菱形；

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m﹣3），

∵O（0，0），C（0，﹣3），

∴OC=3，PC==|m|，PO=．

△QOC為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)OC=PC時，3=|m|，

解得：m=，

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣3）或（，﹣3）；

②當(dāng)OC=PO時，3=，

解得：m=3或m=0（舍去），

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）；

③當(dāng)PC=PO時，有|m|=，

解得：m=，

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．

綜上可知：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣3）或（，﹣3）或（3，0）或（，）．