Question

【題目】實(shí)踐操作在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，林老師按如下的步驟進(jìn)行操作：如圖 (a)，①在△A OB內(nèi)畫任意等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作C′E′∥CE，交OA于點(diǎn)C′，作D′E′∥DE，交OB于點(diǎn)D′，連接C′D′.林老師告訴同學(xué)們△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．

(1)請(qǐng)證明林老師的結(jié)論；

(2)仿照林老師的操作步驟，請(qǐng)?jiān)趫D(b)中作出內(nèi)接正方形CDEF，要求DE在OB上，點(diǎn)C，F分別在OA，AB邊上．(不需要寫作圖過(guò)程，畫出圖形即可)

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 如圖見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)作法可知：C′E′∥CE， D′E′∥DE，可證得△CDE∽△C′D′E′，又∵△CDE是等邊三角形，可得△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形；

（2）仿照林老師的操作步驟，在靠近點(diǎn)O端作一個(gè)小正方形，正方形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在OA和OB上，再過(guò)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)作射線OF，交AB于點(diǎn)F,然后分別做平行線可得到內(nèi)接正方形CDEF。

(1)證明：∵C′E′∥CE，D′E′∥DE，

∴，，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，

∴，∠CED＝∠C′E′D′，

∴△CDE∽△C′D′E′.

又∵△CDE是等邊三角形，

∴△C′D′E′是等邊三角形，

∴△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．

(2)如下圖所示，四邊形CDFE即為所求作的內(nèi)接正方形。