Question

【題目】（定義學(xué)習(xí)）

定義:如果四邊形有一組對(duì)角為直角,那么我們稱這樣的四邊形為“對(duì)直四邊形”.

（判斷嘗試）

在A.矩形；B.菱形；C.正方形中；一定是“對(duì)直四邊形”的是______.(填字母序號(hào))

（操作探究）

在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，AE⊥BC于點(diǎn)E,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊AD和CD上各找一點(diǎn)F，使得由點(diǎn)A、E、C、F組成的四邊形為“對(duì)直四邊形”，連接EF，并直接寫出EF的長(zhǎng).(保留作圖痕跡，不寫作法)

(1)當(dāng)點(diǎn)F在邊AD上時(shí).

(2)當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí).

（實(shí)踐應(yīng)用）

某加工廠有一批四邊形板材，形狀如圖所示，已知AB=3米，AD=1米，∠C=45°，∠A=∠B=90°.現(xiàn)根據(jù)客戶要求，需將每張四邊形板材進(jìn)一步分割成兩個(gè)等腰三角形板材和一個(gè)“對(duì)直四邊形”板材，且這兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)相等,要求充分利用材料且無(wú)剩余，求分割后得到的等腰三角形的腰長(zhǎng).

Answer 1

【答案】【判斷嘗試】A，C；【操作探究】(1)圖見解析，EF=2；(2)圖見解析，EF=；【實(shí)踐應(yīng)用】等腰三角形的腰長(zhǎng)為米或2米.

【解析】

判斷嘗試：直接根據(jù)“對(duì)直四邊形”定義可得：矩形和正方形是“對(duì)直四邊形”；

操作探究：

（1）F在邊AD上時(shí)，如圖1，作CF⊥AD，得矩形AECF，根據(jù)勾股定理可得EF的長(zhǎng)；

（2）F在邊CD上時(shí)，如圖2，作AF⊥CD，證明△AEF是等邊三角形，可得EF的長(zhǎng)；

實(shí)踐應(yīng)用：

存在兩種情況：①如圖3，矩形ABED，F是DC的中點(diǎn)，②如圖4，∠A=∠BFD=90°，E是BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得結(jié)論．

解:【判斷嘗試】∵矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，正方形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，

∴矩形和正方形的對(duì)角為直角,為“對(duì)直四邊形”

故填：A，C.

操作探究：

(1)當(dāng)點(diǎn)F在邊AD上時(shí),如圖1,

由題意可得∠AEC=∠AFC=90°,

在Rt△ABE中,∠B=60°,

∴∠BAE=30°.

∵AB=BC=2,

∴BE=1,

∴CE=2-1=1.

∵AD∥BC,AE⊥BC,CF⊥AD,

∴AE=CF==,

∴EF==2.

(2)當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí),如圖2,

由題意可得AF⊥CD.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=AD,∠B=∠D=60°.

∵∠AEB=∠AFD=90°,

∴△ABE≌△ADF(AAS),

∴AE=AF.

∵∠BAE=∠DAF=30°,

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,

∴△AEF是等邊三角形,

∴EF=AE=.

實(shí)踐應(yīng)用：

①如圖3，在矩形ABED中，F是DC的中點(diǎn),

在Rt△DEC中，∠C=45°,

∴△DEC是等腰直角三角形,

且DE=EC=3，

∴DC=3，

∴DF=CF=EF=，即此時(shí)分割后得到的等腰三角形的腰長(zhǎng)為米；

②如圖4，∠A=∠BFD=90°，E是BC的中點(diǎn),

同理得△BFC是等腰直角三角形.

∵BC=4，

∴EF=BE=CE=2，即此時(shí)分割后得到的等腰三角形的腰長(zhǎng)為2米.