Question

【題目】一個邊長為4的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E．
（1）求CE的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，

∵三角形ABC為等邊三角形，且AB=BC=4，

∴BD= BC=2，∠ACB=60°，

∴AD= = =2 ，

∵等邊三角形ABC與⊙O等高，且⊙O與BC相切于點C，

∴OC= AD= ，∠OCD=90°，

過點O作OF⊥CE于點F，

∴∠OCF=∠OCD﹣∠ACB=30°，

∴CF=OCcos∠OCF= × = ，

則CE=2CF=3；

（2）解：由（1）知OF⊥CE，∠OCF=30°，

∴∠COF=60°，OF=OCsin∠OCF= ，

∴∠COE=120°，

則S陰影=S扇形COE﹣S△COE

= ﹣ ×3×

=π﹣ ．

【解析】（1）作AD⊥BC，由等腰三角形的性質可得BD=2，根據勾股定理得出AD=2 ，結合等邊三角形ABC與⊙O等高且⊙O與BC相切于點C得OC= 、∠OCD=90°，作OF⊥CE于點F，從而知∠OCF=30°，利用三角函數求得CF的長，最后根據勾股定理得CE=2CF；（2）由（1）知OF⊥CE、∠OCF=30°從而得∠COF=60°、OF=OCsin∠OCF= ，繼而知∠COE=120°，根據S陰影=S扇形COE﹣S△COE可得答案．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．