Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)；D為邊上的動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）如圖1，將對折，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在對角線上，折痕為，求此刻點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖2，將對折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，求直線的解析式；

（Ⅲ）在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得與全等？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意由翻折可知：，并設(shè)，由勾股定理得：，即進(jìn)行求解即可；

（Ⅱ）由題意設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，由翻折可知：，，進(jìn)而利用勾股定理與待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；

（Ⅲ）根據(jù)題意將點(diǎn)P在不同象限進(jìn)行分類，根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（Ⅰ）∵在矩形中，點(diǎn)，點(diǎn)；

∴，；

在中，

由翻折可知：

∴，，

設(shè)，則

在中，，

由勾股定理得：，即

解得：.

∵點(diǎn)D在邊上，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅱ）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為

則，

由翻折可知：，，

在中，由勾股定理得：，即

解得：

∴

設(shè)直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為.

（Ⅲ）存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得與全等，理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，△APC≌△CBA，此時(shí)P（0，0），

②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖作交AB 于H，

在Rt△ADP中，,

由得，有P的橫軸坐標(biāo)為：，

將代入的解析式，得到P的縱軸坐標(biāo)為：，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

③當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖作交OC 于G，

同理可得：,

由勾股定理可得：解得，

即有，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

綜上符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或.