Question

【題目】如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF、ON交于點B、點C，連接AB、PB．

（1）如圖1，當(dāng)P、Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，∠MON=60°，連接AP，設(shè)=k，當(dāng)P和Q兩點都在射線ON上移動時，k是否存在最小值？若存在，請直接寫出k的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．

【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AB=PB．連接BQ，只要證明△AOB≌△PQB即可解決問題；

（2）存在．證明方法類似（1）；

（3）連接BQ．只要證明△ABP∽△OBQ，即可推出=，由∠AOB=30°，推出當(dāng)BA⊥OM時， 的值最小，最小值為0.5，由此即可解決問題；

試題解析：解：（1）連接：AB=PB．理由：如圖1中，連接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（2）存在，理由：如圖2中，連接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（3）連接BQ．

易證△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴ =，∵∠AOB=30°，∴當(dāng)BA⊥OM時， 的值最小，最小值為0.5，∴k=0.5．