Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣1，0），并且OA=OC=4OB，動點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）過動點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求寫解題過程）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由B（﹣1，0）可知OB=1，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），A（4，0）．

設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

則 ，

解得： ，

則拋物線的解析式是y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：存在．

①當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，

過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1，

過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M，M，如圖1．

∵∠A CP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），

則m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴m=2，

此時(shí)﹣m2+3m+4=6，

∴P1P的坐標(biāo)是（2，6）．

②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，

過A作AP2⊥AC交拋物線于點(diǎn)P2，

過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F，如圖2．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），

則﹣n+4=﹣（﹣n2+3n+4），

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴n=﹣2，

此時(shí)﹣n2+3n+4=﹣6，

∴P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．

綜上所述：P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）

解：當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ，2）或（ ，2）．

解題過程如下：

連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD（即EF）最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：D是AC的中點(diǎn)．

又∵DF∥OC，

∴△AFD∽△AOC，

∴ = =

∴DF= OC=2，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是2，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也是2，

解﹣x2+3x+4=2得，

x1= ，x2= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，2）或（ ，2）．

【解析】（1）只需求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；（2）可分兩種情況（①以C為直角頂點(diǎn)，②以A為直角頂點(diǎn)）討論，然后根據(jù)點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接OD ， 易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF ， 根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD（即EF）最短，然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．才能正確解答此題．