【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AB=CD.
(1)如圖(1),求證:AD∥BC;
(2)如圖(2),點F是AC的中點,弦DG∥AB,交BC于點E,交AC于點M,求證:AE=2DF;
(3)在(2)的條件下,若DG平分∠ADC,GE=5,tan∠ADF=4,求⊙O的半徑。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接AC.由弦相等得到弧相等,進一步得到圓周角相等,即可得出結(jié)論.
(2)延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形ABED是平行四邊形,從而有AD=BE,DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠NDC=∠B.即可證明ΔABE≌ΔCND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(3)連接BG,過點A作AH⊥BC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四邊形ABED是平行四邊形,得到AB=DE.再證明ΔCDE是等邊三角形,ΔBGE是等邊三角形,通過解三角形ABE,得到AB,HB, AH,HE的長,由EC=DE=AB,得到HC的長.在Rt△AHC中,由勾股定理求出AC的長.
作直徑AP,連接CP,通過解△APC即可得出結(jié)論.
試題解析:解:(1)連接AC.∵AB=CD,∴弧AB=弧CD,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC.
(2)延長AD到N,使DN=AD,連接NC.∵AD∥BC,DG∥AB,∴四邊形ABED是平行四邊形,∴AD=BE,∴DN=BE.∵ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠NDC=∠B.∵AB=CD,∴ΔABE≌ΔCND,∴AE=CN.∵DN=AD,AF=FC,∴DF=CN,∴AE=2DF.
(3)連接BG,過點A作AH⊥BC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四邊形ABED是平行四邊形,∴AB=DE.
∵DF∥CN,∴∠ADF=∠ANC,∴∠AEB=∠ADF,∴tan∠AEB= tan∠ADF=,DG平分∠ADC,∴∠ADG=∠CDG.∵AD∥BC,∴∠ADG=∠CED,∠NDC=∠DCE.∵∠ABC=∠NDC,∴∠ABC=∠DCE.∵AB∥DG,∴∠ABC=∠DEC,∴∠DEC=∠ECD=∠EDC,∴ΔCDE是等邊三角形,∴AB=DE=CE.∵∠GBC=∠GDC=60°,∠G=∠DCB=60°,∴ΔBGE是等邊三角形,BE= GE=.∵tan∠AEB= tan∠ADF=,設(shè)HE=x,則AH= .∵∠ABE=∠DEC=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=4x,AB=8x,∴4x+x=,解得:x=,∴AB=8,HB=4, AH=12,EC=DE=AB=,∴HC=HE+EC==.在Rt△AHC中,AC==.
作直徑AP,連接CP,∴∠ACP=90°,∠P=∠ABC=60°,∴sin∠P=,∴,∴⊙O的半徑是.
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【題目】如圖,在邊長為acm的正方形內(nèi),截去兩個以正方形的邊長acm為直徑的半圓.(以下結(jié)果保π)
(1)圖中陰影部分的周長為______cm,
(2)圖中陰影部分的面積為________cm2;
(3)當(dāng)a=2時,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,AB=4,動點P從A出發(fā),在直線AB上以每秒3個單位的速度向右運動,到達(dá)B后立即返回,回到A后停止運動,動點Q與P同時從A出發(fā),在直線AB上以每秒1個單位的速度向左運動,當(dāng)P停止運動時,點Q也停止運動,設(shè)點P的運動時間為t秒.
(1)若t=1,則BP的長是 PQ的長是 .
(2)當(dāng)點P回到點A時,求BQ的長.
(3)在直線AB上取點C,使B是線段PC的中點,在點P的整個運動過程中,是否存在AC=AQ+3,若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】從A,B兩題中任選一題作答:
A.如圖,在ΔABC中,分別以點A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧交與點M,N,作直線MN交AB于點E,交BC于點F,連接AF。若AF=6,FC=4,連接點E和AC的中點G,則EG的長為__.
B.如圖,在ΔABC中,AB=2,∠BAC=60°,點D是邊BC的中點,點E在邊AC上運動,當(dāng)DE平分ΔABC的周長時,DE的長為__.
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【題目】如圖,點D是△ABC內(nèi)一點,點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,BD的中點。
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;(2)已知AD=6,BD=4,CD=3,∠BDC=90°,求四邊形EFGH的周長。
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【題目】如圖是某種產(chǎn)品30天的銷售圖象,圖1是產(chǎn)品日銷售量y(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系,圖2是一件產(chǎn)品的利潤z(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系.則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. 第24天銷售量為300件B. 第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元
C. 第27天的日銷售利潤是1250元D. 第15天與第30天的日銷售量相等
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點B(2,n),過點B作BC⊥x軸于點C,點P(3n﹣4,1)是該反比例函數(shù)圖象上的一點,且∠PBC=∠ABC,求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式.
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【題目】瀏陽河風(fēng)光帶位于湖南省長沙市芙蓉區(qū)瀏陽河西岸,是人們休閑的好去處.如圖,是一幅簡易的風(fēng)光帶地圖,點為一游客休息處.我們可把風(fēng)光帶看作一條彎曲的數(shù)軸,點作為原點,點、、是風(fēng)光帶上順次三點,從點往點的方向記作正方向,點、之間的路程記為,點、之間的路程記為,開始時點表示的數(shù)為,點表示的數(shù)為(單位:米).
(1)若,求的值;
(2)在(1)的條件下,有甲、乙、丙游客三位分別從點、、的初始位置同時出發(fā)開始沿風(fēng)光帶運動,其中甲以每分鐘米的速度向負(fù)方向運動,乙、丙分別以每分鐘米和米的速度沿風(fēng)光帶向正方向運動.求運動多少分鐘后,乙、丙之間的路程與甲、乙之間的路程相等.
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【題目】一張寬為6cm的平行四邊形紙帶ABCD如圖1所示,AB=10cm,小明用這張紙帶將底面周長為10cm直三棱柱紙盒的側(cè)面進行包貼(要求包貼時沒有重疊部分). 小明通過操作后發(fā)現(xiàn)此類包貼問題可將直三棱柱的側(cè)面展開進行分析.
(1)若紙帶在側(cè)面纏繞三圈,正好將這個直三棱柱紙盒的側(cè)面全部包貼滿.則紙帶AD的長度為____ cm;
(2)若AD=100cm,紙帶在側(cè)面纏繞多圈,正好將這個直三棱柱紙盒的側(cè)面全部包貼滿.則這個直三棱柱紙盒的高度是_____cm.
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