Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0

（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x12+x22＝11，求k的值．

Answer 1

【答案】(1) k＞﹣；(2)1

【解析】

（1）根據(jù)根的判別式得出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，根據(jù)完全平方公式變形后代入，得出[-（2k+1）]2-2（k2-2）=11，再求出即可．

（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，

解得：k＞﹣，

即k的取值范圍是k＞﹣；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2﹣2，

∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x12+x22＝11，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝11，

[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，

解得：k＝﹣3或1，

∵關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

必須k≥﹣，

∴k＝﹣3舍去，

所以k＝1．