【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,以AB為直徑作⊙O恰好與CD相切.
(1)求證:AD+BC=CD;
(2)若E為OA的中點,連結(jié)CE并延長交DA的延長線于F,當AE=AF時,求sin∠DCF.
【答案】(1)詳見解析;(2)sin∠DCF=.
【解析】
(1)作OH⊥CD于H,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得到點H為切點,再證明AD和BC都與⊙O相切,則根據(jù)切線長定理得到DA=DH,CB=CH,于是有AD+BC=DH+CH=CD;
(2)先判斷△AEF為等腰直角三角形得到∠F=45°,再判斷△OBC為等腰直角三角形得BE=BC,作DG⊥BC于G,如圖,易得四邊形ABGD為矩形,則設(shè)AE=AF=x,AD=y,所以BE=BC=3x,CD=y+3x,DG=4x,CG=CB-BG=3x-y,接著在Rt△DGC中利用勾股定理可計算出y=x,則CD=x,DF=x;作DK⊥CF于K,如圖,則△KDF為等腰直角三角形,于是DK=DF=x,然后在Rt△CDK中根據(jù)正弦的定義求解.
(1)證明:作OH⊥CD于H,如圖,
∵以AB為直徑作⊙O與CD相切,
∴點H為切點,
∵∠ABC=90°,AD∥BC,
∴AD⊥AB,BC⊥AB,
∴AD和BC都與⊙O相切,
∴DA=DH,CB=CH,
∴AD+BC=DH+CH=CD;
(2)解:∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴△AEF為等腰直角三角形,
∴∠F=45°,
∵AF∥BC,
∴∠FCB=45°,
∴△OBC為等腰直角三角形,
∴BE=BC,
作DG⊥BC于G,如圖,易得四邊形ABGD為矩形,
設(shè)AE=AF=x,AD=y,則BE=BC=3x,
∴CD=y+3x,DG=4x,CG=CB﹣BG=3x﹣y,
在Rt△DGC中,∵DG2+CG2=CD2,
∴(4x)2+(3x﹣y)2=(y+3x)2,
∴y=x,
∴CD=x+3x=x,DF=x+x=x,
作DK⊥CF于K,如圖,則△KDF為等腰直角三角形,
∴DK=DF=x,
在Rt△CDK中,sin∠DCK===,
即sin∠DCF=.
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【題目】如圖,已知OA=OB,OC=OD,AD和BC相交于點E,則圖中共有全等三角形的對數(shù)( 。
A. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①c<0;②2a+b=0;③a+b+c<0;④b2-4ac<0,其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖, △ABC是等邊三角形,D是BC延長線上任意一點,以AD為一邊向右側(cè)作等邊△ADE,連接CE.
1.求證:△CAE≌△BAD;
2.判斷直線AB與EC的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC 內(nèi)接于半⊙O,AB 為直徑,弦 AD 平分∠CAB,DE 切⊙O 于點 D.
(1) 求證:DE∥BC
(2) 若 AD=BC,⊙O 半徑為 2,求∠CAD 與弧CD圍成區(qū)域的面積.
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【題目】“五一”期間小明和小麗相約到蘇州樂園游玩,小麗乘私家車從上海出發(fā)30分鐘后,小明乘坐火車從上海出發(fā),先到蘇州北站,然后再乘出租車去游樂園(換乘時間忽略不計),兩人恰好同時到達蘇州樂園,他們離上海的距離y(千米)與乘車時間t(小時)的關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象信息解決下面問題:
(1)本次火車的平均速度_________千米/小時?
(2)當小明到達蘇州北站時,小麗離蘇州樂園的距離還有多少千米?
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【題目】如圖,在中,,點在內(nèi),,,點在外,,.
(1)求的度數(shù).
(2)判斷的形狀并加以證明.
(3)連接,若,,求的長.
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【題目】如圖,把長方形紙片ABCD折疊,使頂點A與頂點C重合在一起,EF為折痕.若AB=9,BC=3,試求以折痕EF為邊長的正方形面積( 。
A. 11 B. 10 C. 9 D. 16
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上.頂點B的坐標為(3,),點C的坐標為(1,0),且∠AOB=30°點P為斜邊OB上的一個動點,則PA+PC的最小值為( 。
A.B.C.D.
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