【題目】探究:小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn),對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論:他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P(x,y)P的坐標(biāo)公式:,

(1)請你幫小明寫出中點坐標(biāo)公式的證明過程;

運用:(2)已知點M(2,﹣1),N(﹣3,5),則線段MN長度為 ;

直接寫出以點A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標(biāo): ;

拓展:(3)如圖3,點P(2,n)在函數(shù)(x0)的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上,請在OL、x軸上分別找出點E、F,使PEF的周長最小,簡要敘述作圖方法,并求出周長的最小值.

【答案】(1)答案見解析;(2);(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);(3)

【解析】

試題分析:(1)用P1、P2的坐標(biāo)分別表示出OQ和PQ的長即可證得結(jié)論;

(2)直接利用兩點間距離公式可求得MN的長;分AB、AC、BC為對角線,可求得其中心的坐標(biāo),再利用中點坐標(biāo)公式可求得D點坐標(biāo);

(3)設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M,關(guān)于x軸的對稱點為N,連接PM交直線OL于點R,連接PN交x軸于點S,則可知OR=OS=2,利用兩點間距離公式可求得R的坐標(biāo),再由PR=PS=n,可求得n的值,可求得P點坐標(biāo),利用中點坐標(biāo)公式可求得M點坐標(biāo),由對稱性可求得N點坐標(biāo),連接MN交直線OL于點E,交x軸于點S,此時EP=EM,F(xiàn)P=FN,此時滿足PEF的周長最小,利用兩點間距離公式可求得其周長的最小值.

試題解析:

(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1Q1Q=,OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ,PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線,PQ= =,即線段P1P2的中點P(x,y)P的坐標(biāo)公式為x=,y=;

(2)①∵M(2,﹣1),N(﹣3,5),MN==,故答案為:;

②∵A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時,其對稱中心坐標(biāo)為(0,1),設(shè)D(x,y),則x+3=0,y+(﹣1)=2,解得x=﹣3,y=3,此時D點坐標(biāo)為(﹣3,3),當(dāng)AC為對角線時,同理可求得D點坐標(biāo)為(7,1),當(dāng)BC為對角線時,同理可求得D點坐標(biāo)為(﹣1,﹣3),綜上可知D點坐標(biāo)為(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3),故答案為:(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);

(3)如圖,設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M,關(guān)于x軸的對稱點為N,連接PM交直線OL于點R,連接PN交x軸于點S,連接MN交直線OL于點E,交x軸于點F,又對稱性可知EP=EM,F(xiàn)P=FN,PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,此時PEF的周長即為MN的長,為最小,設(shè)R(x,),由題意可知OR=OS=2,PR=PS=n,=2,解得x=﹣(舍去)或x=R(,),,解得n=1,P(2,1),N(2,﹣1),設(shè)M(x,y),則=, =,解得x=,y=M(,),MN= =,即PEF的周長的最小值為

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