【題目】探究:小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn),對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論:他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P(x,y)P的坐標(biāo)公式:,.
(1)請你幫小明寫出中點坐標(biāo)公式的證明過程;
運用:(2)①已知點M(2,﹣1),N(﹣3,5),則線段MN長度為 ;
②直接寫出以點A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標(biāo): ;
拓展:(3)如圖3,點P(2,n)在函數(shù)(x≥0)的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上,請在OL、x軸上分別找出點E、F,使△PEF的周長最小,簡要敘述作圖方法,并求出周長的最小值.
【答案】(1)答案見解析;(2)①;②(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);(3).
【解析】
試題分析:(1)用P1、P2的坐標(biāo)分別表示出OQ和PQ的長即可證得結(jié)論;
(2)①直接利用兩點間距離公式可求得MN的長;②分AB、AC、BC為對角線,可求得其中心的坐標(biāo),再利用中點坐標(biāo)公式可求得D點坐標(biāo);
(3)設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M,關(guān)于x軸的對稱點為N,連接PM交直線OL于點R,連接PN交x軸于點S,則可知OR=OS=2,利用兩點間距離公式可求得R的坐標(biāo),再由PR=PS=n,可求得n的值,可求得P點坐標(biāo),利用中點坐標(biāo)公式可求得M點坐標(biāo),由對稱性可求得N點坐標(biāo),連接MN交直線OL于點E,交x軸于點S,此時EP=EM,F(xiàn)P=FN,此時滿足△PEF的周長最小,利用兩點間距離公式可求得其周長的最小值.
試題解析:
(1)∵P1(x1,y1),P2(x2,y2),∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1,∴Q1Q=,∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ,∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線,∴PQ= =,即線段P1P2的中點P(x,y)P的坐標(biāo)公式為x=,y=;
(2)①∵M(2,﹣1),N(﹣3,5),∴MN==,故答案為:;
②∵A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),∴當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時,其對稱中心坐標(biāo)為(0,1),設(shè)D(x,y),則x+3=0,y+(﹣1)=2,解得x=﹣3,y=3,∴此時D點坐標(biāo)為(﹣3,3),當(dāng)AC為對角線時,同理可求得D點坐標(biāo)為(7,1),當(dāng)BC為對角線時,同理可求得D點坐標(biāo)為(﹣1,﹣3),綜上可知D點坐標(biāo)為(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3),故答案為:(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);
(3)如圖,設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M,關(guān)于x軸的對稱點為N,連接PM交直線OL于點R,連接PN交x軸于點S,連接MN交直線OL于點E,交x軸于點F,又對稱性可知EP=EM,F(xiàn)P=FN,∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,∴此時△PEF的周長即為MN的長,為最小,設(shè)R(x,),由題意可知OR=OS=2,PR=PS=n,∴=2,解得x=﹣(舍去)或x=,∴R(,),∴,解得n=1,∴P(2,1),∴N(2,﹣1),設(shè)M(x,y),則=, =,解得x=,y=,∴M(,),∴MN= =,即△PEF的周長的最小值為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的一塊地,已知∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=20m,則這塊地的面積為( )平方米.
A.96
B.204
C.196
D.304
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點P為第三象限的點,P到x軸的距離是2,到y軸的距離是5,那么P點坐標(biāo)是( 。
A. (-2,-5) B. (﹣5,﹣2) C. (﹣5,2) D. (5,﹣2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海南省是中國國土面積(含海域)第一大省,其中海域面積約為2000000平方公里,數(shù)據(jù)2000000用科學(xué)記數(shù)法表示為2×10n , 則n的值為( )
A.5
B.6
C.7
D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】莊子說:“一尺之椎,日取其半,萬世不竭”.這句話(文字語言)表達了古人將事物無限分割的思想,用圖形語言表示為圖1,按此圖分割的方法,可得到一個等式(符號語言):.
圖2也是一種無限分割:在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,過點C作CC1⊥AB于點C1,再過點C1作C1C2⊥BC于點C2,又過點C2作C2C3⊥AB于點C3,如此無限繼續(xù)下去,則可將利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、….假設(shè)AC=2,這些三角形的面積和可以得到一個等式是 .
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