【題目】已知:在ABC中,ABAC,點DAB上一點,以BD為直徑的⊙0AC邊相切于點E,交BC于點F,FGAC于點G

1)如圖l,求證:GEGF;

2)如圖2,連接DE,∠GFC2AED,求證:ABC為等邊三角形;

3)如圖3,在(2)的條件下,點H、K、P分別在AB、BC、AC上,AKBP分別交CH于點M、NAHBK,∠PNCBAK60°CN6,CM4,求BC的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3BC10.

【解析】

1)由切線的定義得到直角條件,由半徑相等可證OFGE為正方形;

2)由圓周角定理可得直角條件,由2倍角關系可得60°條件,從而證明等邊三角形;

3)結合(2)的結論和條件中角的關系,需要設置角參數(shù),標識圖形從而發(fā)現(xiàn)BCBR,用勾股定理建立方程關系,求解方程即可.

解:(1)如圖1,連接OEOF

AC是⊙O的切線

OEAC,

∴∠OEG90°

FGAC,

∴∠FGE90°

ABAC,

∴∠ABC=∠ACB

OBOF

∴∠OBF=∠OFB

∴∠OFB=∠ACB,

OFAC

∴∠OFG+FGE180°

∴∠OFG90°

∴∠OFG=∠FGE=∠OEG90°

∴四邊形OFGE為矩形

OFOE,

∴四邊形OFGE為正方形

GEGF

2)如圖2,連接OE,BE

BD是⊙O的直徑,

∴∠BED90°

∴∠OED+OEB90°

∵∠OEG90°,

∴∠AED+OED90°

∵∠OEG90°,

∴∠AED+OED90°

∴∠OEB=∠AED

OBOE,

∴∠OBE=∠OEB

∴∠OBE=∠AED

∴∠AOE2OEB2AED

∵∠GFC2AED

∴∠AOE=∠GFC

∵∠C+GFC90°,∠A+AOE90°

∴∠C=∠A

BABC,

ABAC

ABACBC

∴△ABC為等邊三角形

3)∵△ABC為等邊三角形

∴∠CAH=∠ABK60°

AHBKACAB,

∴△CAH≌△ABKSAS

∴∠ACH=∠BAK

∵∠KMC=∠KAC+ACM

∴∠KMC=∠KAC+BAK60°

過點CCQAK,垂足為Q,過點BBTCH,垂足為T

∴∠AQC=∠CTB90°

∵∠QAC=∠BAC﹣∠BAK60°,∠TCB=∠ACB﹣∠ACH60°﹣∠ACH

∴∠QAC=∠TCB,

ACBC

∴△AQC≌△CTBAAS

QCBT

RtMQC中,

CM4,∠QMC60°sinQMC

QC6

設∠BAK=∠ACH

∵∠PNCBAK60°,

∴∠PNC60°+α=∠BNH

∴∠BCH=∠ACB﹣∠ACH60°

延長NH到點R,使RTTN,連接BR

BT使RN的垂直平分線

BRBN

∴∠BNR=∠BRN60°+α

∴∠CBR180°﹣∠BCR﹣∠CRB60°+α

∴∠CBR=∠CRB60°+α

BCRC

TNRTa

CN6

CTa+6,CRCB2a+6

CQBT6

RtBTC

BT2+TC2BC2

62+a+62=(2a+62

a1=﹣6(舍),a22

TN2

BC10

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成績/

45

49

52

54

55

58

60

人數(shù)

2

5

6

6

8

7

6

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C.該班學生這次考試成績的中位數(shù)是55

D.該班學生這次考試成績的平均數(shù)是55

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