【題目】已知:在△ABC中,AB=AC,點D是AB上一點,以BD為直徑的⊙0與AC邊相切于點E,交BC于點F,FG⊥AC于點G.
(1)如圖l,求證:GE=GF;
(2)如圖2,連接DE,∠GFC=2∠AED,求證:△ABC為等邊三角形;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點H、K、P分別在AB、BC、AC上,AK、BP分別交CH于點M、N,AH=BK,∠PNC﹣∠BAK=60°,CN=6,CM=4,求BC的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)BC=10.
【解析】
(1)由切線的定義得到直角條件,由半徑相等可證OFGE為正方形;
(2)由圓周角定理可得直角條件,由2倍角關系可得60°條件,從而證明等邊三角形;
(3)結合(2)的結論和條件中角的關系,需要設置角參數(shù),標識圖形從而發(fā)現(xiàn)BC=BR,用勾股定理建立方程關系,求解方程即可.
解:(1)如圖1,連接OE和OF
∵AC是⊙O的切線
∴OE⊥AC,
∴∠OEG=90°
∵FG⊥AC,
∴∠FGE=90°
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∵OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB
∴∠OFB=∠ACB,
∴OF∥AC
∴∠OFG+∠FGE=180°,
∴∠OFG=90°
∴∠OFG=∠FGE=∠OEG=90°
∴四邊形OFGE為矩形
∵OF=OE,
∴四邊形OFGE為正方形
∴GE=GF
(2)如圖2,連接OE,BE
∵BD是⊙O的直徑,
∴∠BED=90°
∴∠OED+∠OEB=90°
∵∠OEG=90°,
∴∠AED+∠OED=90°
∵∠OEG=90°,
∴∠AED+∠OED=90°
∴∠OEB=∠AED
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB
∴∠OBE=∠AED
∴∠AOE=2∠OEB=2∠AED
∵∠GFC=2∠AED
∴∠AOE=∠GFC
∵∠C+∠GFC=90°,∠A+∠AOE=90°
∴∠C=∠A
∴BA=BC,
∵AB=AC
∴AB=AC=BC
∴△ABC為等邊三角形
(3)∵△ABC為等邊三角形
∴∠CAH=∠ABK=60°
∵AH=BK,AC=AB,
∴△CAH≌△ABK(SAS)
∴∠ACH=∠BAK
∵∠KMC=∠KAC+∠ACM
∴∠KMC=∠KAC+∠BAK=60°
過點C作CQ⊥AK,垂足為Q,過點B作BT⊥CH,垂足為T
∴∠AQC=∠CTB=90°
∵∠QAC=∠BAC﹣∠BAK=60°,∠TCB=∠ACB﹣∠ACH=60°﹣∠ACH
∴∠QAC=∠TCB,
∵AC=BC
∴△AQC≌△CTB(AAS)
∴QC=BT
在Rt△MQC中,
∵CM=4,∠QMC=60°,sin∠QMC=
∴QC=6
設∠BAK=2α=∠ACH
∵∠PNC﹣∠BAK=60°,
∴∠PNC=60°+α=∠BNH
∴∠BCH=∠ACB﹣∠ACH=60°﹣2α
延長NH到點R,使RT=TN,連接BR
∴BT使RN的垂直平分線
∴BR=BN
∴∠BNR=∠BRN=60°+α
∴∠CBR=180°﹣∠BCR﹣∠CRB=60°+α
∴∠CBR=∠CRB=60°+α
∴BC=RC
設TN=RT=a,
∵CN=6
∴CT=a+6,CR=CB=2a+6
∵CQ=BT=6
在Rt△BTC中
BT2+TC2=BC2
∴62+(a+6)2=(2a+6)2
∴a1=﹣6(舍),a2=2
∴TN=2
∴BC=10
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【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置,其中,.
(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖2,固定,使繞點旋轉(zhuǎn),當點恰好落在邊上時,填空:
①線段與的位置關系是______;
②設的面積為,的面積為,則與的數(shù)量關系是______
(2)猜想論證
當繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,小明猜想1.中與的數(shù)量關系仍然成立,并嘗試分別作出了和中、邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,點是角平分線上一點,,交于點(如圖4).若在射線上存在點,使,請求出相應的的長.
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【題目】如圖,□ABCD的對角線AC,BD交于點O,CE平分∠BCD交AB于點E,交BD于點F,且∠ABC=60°,AB=2BC,連接OE.下列結論:①EO⊥AC;②S△AOD=4S△OCF;③AC:BD=:7;④FB2=OFDF.其中正確的是( )
A.①②④B.①③④C.②③④D.①③
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【題目】[知識回顧]
七年級學習代數(shù)式求值時,遇到這樣一類題 “代數(shù)式的值與的取值無關,求的值”,通常的解題方法是:把看作字母,看作系數(shù)合并同類項,因為代數(shù)式的值與的取值無關,所以含項的系數(shù)為,即原式,所以,則.
[理解應用]
若關于的多項式的值與的取值無關,試求的值:
若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過某個定點,則該定點坐標為 ;
[能力提升]
張如圖1的小長方形,長為,寬為,按照圖2方式不重疊地放在大矩形內(nèi),大矩形中未被覆蓋的兩個部分(圖中陰影部分) ,設右上角的面積為,左下角的面積為,當的長變化時,的值始終保持不變,求與的等量關系.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E是BC上一點,連接AE,點F是AE上一點,連接FC,若∠BAE=∠EFC,CF=CD,AB:BC=3:2,AF=4,則FC的長為_____.
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【題目】初一(1)班針對“你最喜愛的課外活動項目”對全班學生進行調(diào)查(每名學生分別選一個活動項目),并根據(jù)調(diào)查結果列出統(tǒng)計表,繪制成扇形統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1) , ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中機器人項目所對應扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(3)從選航模項目的名學生中隨機選取名學生參加學校航模興趣小組訓練,請用列舉法(畫樹狀圖或列表)求所選取的名學生中恰好有名男生、名女生的概率.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BD平分∠ABC,BD⊥DC.
(1)求出sin∠DBC的值;
(2)若AD=2,把∠BOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)(),交AB于點M,交BC于點N(如圖),求證:四邊形OMBN的面積為一個定值,并求出這個定值.
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【題目】在新中國成立70周年之際,某校開展了“校園文化藝術”活動,活動項目有:書法、繪畫、聲樂和器樂,要求全校學生人人參加,并且每人只能參加其中一項活動,政教處在該校學生中隨機抽取了100名學生進行調(diào)查和統(tǒng)計,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中相關數(shù)據(jù)解答下列問題:
(1)請補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)該校初中學生中,參加“書法”項目的學生所占的百分比是多少?
(3)若該校共有1500人,請估計其中參加“器樂”項目的高中學生有多少人?
(4)經(jīng)政教處對所有參加“繪畫”項目的作品進行評比,共選出2名初中學生和2名高中學生的最佳作品,學校決定從這4名學生中隨機抽取2人作為學生會“繪畫社團”的團生,那么正好抽到一名初中學生和一名高中學生的概率是多少?
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【題目】某校九年級(1)班全體學生2018年初中畢業(yè)體育學業(yè)考試成績統(tǒng)計表如下:
成績/分 | 45 | 49 | 52 | 54 | 55 | 58 | 60 |
人數(shù) | 2 | 5 | 6 | 6 | 8 | 7 | 6 |
根據(jù)上表中信息判斷,下列結論中錯誤的是( 。
A.該班一共有40名同學
B.該班學生這次考試成績的眾數(shù)是55分
C.該班學生這次考試成績的中位數(shù)是55分
D.該班學生這次考試成績的平均數(shù)是55分
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