Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB=20cm，動(dòng)點(diǎn)D由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒1 cm速度在邊AC上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E由點(diǎn)C向點(diǎn)B以每秒cm速度在邊BC上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)D，點(diǎn)E從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)t秒(t>0)，聯(lián)結(jié)DE.

（1）求證：△DCE∽△BCA．

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、C、E三點(diǎn)的圓為⊙P.

①當(dāng)⊙P與邊AB相切時(shí)，求t的值.

②在點(diǎn)D、點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若⊙P與邊AB交于點(diǎn)F、G（點(diǎn)F在點(diǎn)G左側(cè)），聯(lián)結(jié)CP 并延長(zhǎng)CP交邊AB于點(diǎn)M，當(dāng)△PFM與△CDE相似時(shí)，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②當(dāng)與相似時(shí)，或.

【解析】

（1）由題意得：，由，，利用勾股定理求得，由；得出，又，則∽．

（2）①連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用直角三角形的斜邊中線(xiàn)得出為中點(diǎn)，，得出，利用∽，得出, 再利用角的等量替換得出 ，即，故⊙P與邊相切，利用三角函數(shù)求出DE,CE即可求出t；②由題意得解得,由①得,，，故,，,再根據(jù)相似三角形分情況討論即可求解.

（1）證明：由題意得：，∵，，；

∴，∵；

∴

又∵

∴∽．

（2）①連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，

∴DE是⊙的直徑

即為中點(diǎn)，

∴.

∴，∵∽，∴,

∵,∴

∴；

∵⊙P與邊相切，

∴點(diǎn)為切點(diǎn)， 為⊙的直徑，

∵解得，∴

得即.

②由題意得解得,由①得,，

∴,，,

∵

∴由與相似可得：

情況一：得解得：； 0＜≤9

情況二：得解得：； 0＜≤9

∴綜上所述：當(dāng)與相似時(shí). 或