Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，直角的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等腰直角三角形. 當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，上述結(jié)論始終成立的有____________個(gè).

Answer 1

【答案】4

【解析】

由ED垂直于FD，BD垂直于AC，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由三角形ABC為等腰直角三角形得到BD=CD，且∠EBD=∠C=45°，利用ASA得到三角形BED與三角形CFD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等即可做出判斷．

∵ED⊥FD，BD⊥AC，

∴∠BDE+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDC=90°，

∴∠BDE=∠FDC，

∵B、E、D、F四點(diǎn)共圓，

∴∠BFE=∠BDE，

∴∠BFE=∠CDF，選項(xiàng)④正確；

∵△ABC為等腰直角三角形，BD⊥AC，

∴∠EBD=∠C=45°，BD=CD，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（ASA），

∴BE=CF，

∴AE=BF，選項(xiàng)①正確；

DE=DF，

∴△DEF為等腰直角三角形，選項(xiàng)⑤正確；

∴S四邊形BEDF=S△BED+S△BDF=S△CFD+S△BDF=S△BDC=S△ABC，選項(xiàng)②正確．

∵BD是定值，EF隨DF的變化而變化，只有當(dāng)DF⊥BC時(shí)，EF=BD，

∴③不正確，

∴上述結(jié)論中始終成立的有4個(gè)．

故答案為：4．