Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為直線EC上的一點(diǎn)，且PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R．

（1）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC中點(diǎn)時(shí)，易證：PR+PQ= （不需證明）．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見(jiàn)解析；（2）PR﹣PQ=

【解析】

試題（1）②連接BP，過(guò)C點(diǎn)作CK⊥BD于點(diǎn)K．根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積相等可求出CK的長(zhǎng)，最后通過(guò)等量代換即可證明；

（2）圖3中的結(jié)論是PR﹣PQ=．

試題解析：解：（1）②圖2中結(jié)論PR+PQ=仍成立．

證明：連接BP，過(guò)C點(diǎn)作CK⊥BD于點(diǎn)K．

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD=90°．又∵CD=AB=3，BC=4，∴BD===5．

∵S△BCD=BCCD=BDCK，∴3×4=5CK，∴CK=．

∵S△BCE=BECK，S△BEP=PRBE，S△BCP=PQBC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，∴BECK=PRBE+PQBC．又∵BE=BC，∴CK=PR+PQ，∴CK=PR+PQ．又∵CK=，∴PR+PQ=；

（2）過(guò)C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，連接BP，S△BPE﹣S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，BE=BC為兩個(gè)底，PR，PQ 分別為高，圖3中的結(jié)論是PR﹣PQ=．