Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3的頂點(diǎn)為M（2，﹣1），交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C的直線與該拋物線的另一個點(diǎn)為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對稱，求直線CD的解析式；
（3）在該拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，滿足PM2+PB2+PC2=35，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；并直接寫出此時直線OP與該拋物線交點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將M（2，﹣1）、B（3，0）代入拋物線的解析式中，得：

，

解得 ．

故拋物線的解析式：y=x2﹣4x+3．

（2）

解：由拋物線的解析式知：B（3，0）、C（0，3）、A（1，0）；

則△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．

過B作BE⊥x軸，交直線CD于E（如下圖），

則∠EBC=∠ABC=45°；

由于直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對稱，所以點(diǎn)A、E關(guān)于直線BC對稱，則BE=AB=2；

則E（3，2）．

由于直線CD經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），可設(shè)該直線的解析式為y=kx+3，代入E（3，2）后，得：

3k+3=2，k=﹣

故直線CD的解析式：y=﹣ x+3．

（3）

解：設(shè)P（2，m），已知M（2，﹣1）、B（3，0）、C（0，3），則：

PM2=（2﹣2）2+（m+1）2=m2+2m+1，PB2=（3﹣2）2+（0﹣m）2=m2+1，PC2=（0﹣2）2+（3﹣m）2=m2﹣6m+13；

已知：PM2+PB2+PC2=35，則：m2+2m+1+m2+1+m2﹣6m+13=35，化簡得：3m2﹣4m﹣20=0

解之得：m1=﹣2，m2= ；

則P1（2，﹣2）、P2（2， ）

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2， ）時，由圖可知，直線OP與拋物線必有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣2）時，直線OP：y=﹣x，聯(lián)立拋物線的解析式有：

x2﹣4x+3=﹣x，即 x2﹣3x+3=0

△=（﹣3）2﹣4×3＜0，

故該直線與拋物線沒有交點(diǎn)；

綜上，直線OP與拋物線有兩個交點(diǎn)．

【解析】（1）拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，將已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入其中進(jìn)行求解即可．（2）由C、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x軸交CD于E，結(jié)合“直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對稱”可得出A、E關(guān)于直線BC對稱，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)以及AB的長即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，在明確C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，直線CD的解析式即可由待定系數(shù)法求得．（3）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，而M、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)已知，即可得到PM2、PB2、PC2的表達(dá)式，結(jié)合題干的已知條件即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而進(jìn)一步判斷出直線OP與拋物線的交點(diǎn)個數(shù)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�