Question

【題目】（1）（問題解決）已知點(diǎn)在內(nèi)，過點(diǎn)分別作關(guān)于、的對稱點(diǎn)、.

①如圖1，若，請直接寫出______；

②如圖2，連接分別交、于、，若，求的度數(shù)；

③在②的條件下，若度（），請直接寫出______度（用含的代數(shù)式表示）.

（2）（拓展延伸）利用“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”這個結(jié)論，解答問題：如圖3，在中，，點(diǎn)是內(nèi)部一定點(diǎn)，，點(diǎn)、分別在邊、上，請你在圖3中畫出使周長最小的點(diǎn)、的位置（不寫畫法），并直接寫出周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）【問題解決】①；②；③；（2）【拓展延伸】如圖，見解析；周長最小值為8．

【解析】

（1）①連接OP，由點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度數(shù)；②由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得；由軸對稱的性質(zhì)得，，，再由三角形外角的性質(zhì)可得，，所以，即可求得；由軸對稱的性質(zhì)可得，由四邊形的內(nèi)角和為360°即可求得； ③類比②的方法即可解答；（2）作點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)，再作點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn) ，連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，此時的周長最小，最小為的長，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可判定△A是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得=AP=8，由此即可得周長最小值為8．

（1）①連接OP，

∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)，

∴，，

∴+=2（+）=2,

故答案為：50°；

②如圖2，

∵，

∴，

由軸對稱的性質(zhì)得，，，

∵，，

∴，

∴，

由軸對稱的性質(zhì)得，，

∴；

③.

如圖2，

∵，

∴，

由軸對稱的性質(zhì)得，，，

∵，，

∴，

∴，

由軸對稱的性質(zhì)得，，

∴=；

故答案為：；

（2）如圖所示，的周長最小，周長最小值為8．

①畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)，

②畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn) ，

③連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，

此時的周長最小，周長最小值為8．