【題目】如圖,在△ABC中,BC=5,高AD、BE相交于點(diǎn)O,BD=CD,且AE=BE.
(1)求線段AO的長(zhǎng);
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△POQ的面積為S,請(qǐng)用含t的式子表示S,并直接寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)F是直線AC上的一點(diǎn)且CF=BO.是否存在t值,使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)AO=BC=5;(2)①S=﹣2t2+t(0<t<);②S=2t2﹣t(<t≤5);(3)存在;t=1或s.
【解析】
(1)只要證明△AOE≌△BCE即可解決問(wèn)題;
(2)分兩種情形討論求解即可①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí),QD=2﹣4t,②當(dāng)點(diǎn)Q在射線DC上時(shí),DQ=4t﹣2時(shí);
(3)分兩種情形求解即可①如圖2中,當(dāng)OP=CQ時(shí),BOP≌△FCQ.②如圖3中,當(dāng)OP=CQ時(shí),△BOP≌△FCQ.
解:(1)如圖1中,
∵AD是高,
∴∠ADC=90°,
∵BE是高,
∴∠AEB=∠BEC=90°,
∴∠EAO+∠ACD=90°,∠EBC+∠ECB=90°,
∴∠EAO=∠EBC,
在△AOE和△BCE中,
,
∴△AOE≌△BCE,
∴AO=BC=5.
(2)∵BD=CD,BC=5,
∴BD=2,CD=3,
由題意OP=t,BQ=4t,
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí),QD=2﹣4t,
∴S=t(2﹣4t)=﹣2t2+t(0<t<).
②當(dāng)點(diǎn)Q在射線DC上時(shí),DQ=4t﹣2,
∴S=t(4t﹣2)=2t2﹣t(<t≤5).
(3)存在.
①如圖2中,當(dāng)OP=CQ時(shí),∵OB=CF,∠POB=∠FCQ,∴△BOP≌△FCQ.
∴CQ=OP,
∴5﹣4t═t,
解得t=1,
②如圖3中,當(dāng)OP=CQ時(shí),∵OB=CF,∠POB=∠FCQ,
∴△BOP≌△FCQ.
∴CQ=OP,
∴4t﹣5=t,
解得t=.
綜上所述,t=1或s時(shí),△BOP與△FCQ全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店銷(xiāo)售兩種商品,每件的售價(jià)分別為元、元,五一期間,該商店決定對(duì)這兩種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng),如圖所示,若小紅打算到該商店購(gòu)買(mǎi)件商品和件商品,根據(jù)以上信息,請(qǐng):
(1)分別用含的代數(shù)式表示按照方案一和方案二所需的費(fèi)用和;
(2)就的不同取值,請(qǐng)說(shuō)明選擇那種方案購(gòu)買(mǎi)更實(shí)惠(兩種優(yōu)惠方案不能同時(shí)享受)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1, ⊙O是等邊三角形 的外接圓, 是⊙O上的一個(gè)點(diǎn).
(1)則 =;
(2)試證明: ;
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn) 作⊙O的切線交射線 于點(diǎn) .
①試證明: ;
②若 ,求 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,海中有一燈塔P,它的周?chē)?海里內(nèi)有暗礁.海輪以18海里/時(shí)的速度由西向東航行,在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上;航行40分鐘到達(dá)B處,測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上;如果海輪不改變航線繼續(xù)向東航行,有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式,變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”,培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.小華與小明同學(xué)就“你最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周?chē)囊恍┩瑢W(xué),根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖).
請(qǐng)根據(jù)上面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖回答以下4個(gè)問(wèn)題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了_____名學(xué)生.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖中的缺項(xiàng).
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,選擇教師傳授的占_____%,選擇小組合作學(xué)習(xí)的占_____%.
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估算該校1800名學(xué)生中大約有_____人選擇小組合作學(xué)習(xí)模式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.若AC=6,AB=10,則⊙O的半徑為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)﹣+|﹣3|
(2)x2x4﹣(﹣3x2)3
(3)(m+1)(m﹣3)﹣(m+2)2+(m+2)(m﹣2)
(4)20142﹣2013×2015(用公式計(jì)算)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線 與拋物線 交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點(diǎn)D,作PE⊥AB于點(diǎn)E.
①設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為 ,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ,求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,并求出 的最大值;
②連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在 軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)△APC的面積為s(m),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),變量S與t之間的關(guān)系如圖2所示,則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,S的最大值是______.
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