Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABCD的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣6，9），B（0，9），C（3，0），D（﹣3，0），拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）過A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M．

（1）若拋物線過點(diǎn)C，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)M落在△ACD的內(nèi)部（包括邊界），求a的取值范圍；
（3）若a＜0，連結(jié)CM交線段AB于點(diǎn)Q（Q不與點(diǎn)B重合），連接DM交線段AB于點(diǎn)P，設(shè)S1=S△ADP+S△CBQ ， S2=S△MPQ ， 試判斷S1與S2的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，

解得：a=﹣ ，b=﹣2，c=9．

將a=﹣ ，b=﹣2，c=9代入得y=﹣ ﹣2x+9．

（2）解：如圖1所示：連接AC交直線x=﹣3與點(diǎn)E．

∵點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，

∴點(diǎn)M在直線x=﹣3上．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=﹣1，b=3．

將k=﹣1，b=3代入得：y=﹣x+3．

∵將x=﹣3代入得；y=﹣（﹣3）+3=6．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，6）．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+3）2+6，將x=0，y=9代入得：9a+6=9．

解得：a= ．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+3）2，將x=0，y=9代入得：9a=9．

解得：a=1．

∴ ≤a≤1．

（3）解：如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)．

∵DM為拋物線的對稱軸，

∴DM是AB的垂直平分線．

∴AP=PB．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠A=∠PBM．

在△APD和△BPM中， ，

∴△APD≌△BPM．

∴S△APD=S△PMB．

∵點(diǎn)Q在AB上且與點(diǎn)B不重合，

∴PQ＜PB．

∴S△APD＞S△PMB．

∴S△ADP+S△CBQ＞S△MPQ．

∴S1＞S2．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，從而可解得a、b、c的值，從而可求得拋物線的解析式。
（2）點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，因此拋物線的對稱軸為x=-3，連接AC，交x=-3與點(diǎn)E，先求得AC的解析式，然后求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)M在△ACD的內(nèi)部，從而可知點(diǎn)M在線段ED上，然后求得經(jīng)過點(diǎn)A、B、D和點(diǎn)A、B、E的解析式，從而可求得a的范圍。
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，可證明△ADP≌△PBM，由于點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合，故此△ADP的面積>△PBM的面積，從而可知判斷出S1與S2的大小關(guān)系。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．